Интеграл Дирихле. Принцип локализации

Оглавление:

Интеграл Дирихле. Принцип локализации

Интеграл Дирихле. Принцип локализации. Предполагается, что функция} (x) может быть абсолютной интегрируемой на интервале —i, z].Найти выражение частичной суммы 8n (x; [) ряда Фурье функции/. его просто называют суммой Фурье n-го порядка n = 0, 1 и 2 n-го порядка этой функции, что полезно для исследования. Если мы заменим формулу для коэффициента Фурье (55.6) на 5″(x;/)、 55.3.Интеграл Дирихле. Принципы локализации 353. Получить его. П 8 ((х \ /)= ^-+ ^ axo5xx\ БК $ ’WX и = Один 2л Я 5 нет * * * + Я. X 1 л ^ [({) (Поп-поп с КХ \ 81P 51p позволяют вести съемку быстро КХ) у = я, я… Один л (I. (55.11） 6 = 1 к = 1 Поставь П AL0 = s + 2C08 ^ ’(55.12） к = 1 Затем можно переписать выражение (55.11) в следующую форму: ТС $ *(x\/) ^ $ Op {I-x)/(0 и (55.13） Л. Функция ( / ) называется ядром Дирихле, где стоит Интеграл. В правой части уравнения (55.13) находится Интеграл Дирихле.

Заметим, что предел ядра Дирихле не существует, поэтому нельзя использовать n0 в правой части уравнения (55.13), чтобы перейти непосредственно к пределу, то есть ниже знака интеграла. Людмила Фирмаль

Лемма 3. ДРА Дирихле. .1) больше последовательных 2d периодических функций, и больше (0)= n f-2; 2) соответствует требованиям (55.14） A. (0 = (55.15)） 3) Если 2k, k= 0、±1、±2、… Доказательство. Непрерывность ядра Дирихле O, четность и интервал существования периода, равного 2π [I, I] вдоль RA 12 Кудрявцев Л. Д. вып.2 обе части§ 55.Тригонометрический ряд Фурье Триста пятьдесят четыре Правило (55.12). Я I b = 1-I ^ ФП (я) см-г ^ Л1 + ^ | потому что я = я если k-1, 2,$ co $ W U = 0 Я. ^В. Л \ 5ш » 2 Е = 1 。 26-1 Op (0 = 2 + 2 cosЫ=л 2 51p позволяют вести съемку быстро 51p позволяют вести съемку быстро г + 2(8 * р * −8 * п 4-22zsh ^ соз&| = 2 5, п г к = 1 Докажем формулу (55.15).Есть АП / л + 2 «）（ ■ О* 2 81P-X,1ph2pc, k = 0,±1,±2 По четности ядра Дирихле、 5 OptC) M = \ Op {1) M、 Для этого Я Д(9Л = 2 $ Д (9Ч. Да.

Это природа ядра Дирихле 2° Я ！/ D, (94 / = 1.(55.16)） И затем Также обратите внимание, что правая часть уравнения (55.15)имеет смысл только для IF 2pc, а k-целое число. Но с тех пор ап (я + 4)）/ Rm ^ 7 ^ = 1!ОП М (1)= н ±1、 1 + 2kJ 2 81P y (^ 2kJ * 8tGl + ю Функция -может быть переопределена с помощью 1 =2пк и к = о. 2 вверх ±1,±2,…Подсчитывает значения в каждой из этих точек 55.3.Интеграл Дирихле. Принципы локализации Триста пятьдесят пять n + определение, равное* -.Определяется указанным способом Эта функция непрерывна между 1 = 2lk для всех целых k. Вернемся к обсуждению полностью интегрируемой функции абсолютно в интервале [π, π]. в частности, нас интересует ограничение подпоследовательности 8N (X \ [) ряда Фурье.

Расширьте функцию/от полупериода [ ,,.))) до периодической функции 2π и обозначьте ее через/(см.§ 55.1 для получения подробной информации о периодическом расширении). Докажем следующую лемму. Лемма 4.Абсолютной интегрируемости 2л-периодические функции/для частичного Фурье сумма 8н (х\/) Я $»（; /）=—^ Bn {1) Пх + 1) © 1 (55.17） Я. .. И затем Я 8н(х !() = 〜 ^ ОП (() [НХ + с + НХ-тю.(55.18） Шесть Для результата 6e(0, x), xe [-x, x] частичная сумма рядов Фурье абсолютной интегрируемой 2n периодической функции/8a (x \ [) имеет следующее асимптотическое интегральное представление: Шесть Д = О0О(01 /(х + 0-х-0)+ + О(1), ко.(55.19） О Доказательство леммы. Интеграл Дирихле (55.13) выполняет модификацию интегральной переменной u = 1-x. Я 8н(х \ /)=〜^ а(/-)/(0 и CN = Я. .. Я-Х-Я = я» ^ а(у)/(Х + У) ух = ^ а(у)/(Х + У) ух. (55.20 )） И-Икс-и.

Мы снова использовали тот факт, что интегрирование периодической функции на отрезке, длина которого равна его периоду, не зависит от положения этого отрезка на действительной оси (см.§ 55.1), и применили это свойство к 2-периоду относительно функции A (u) [(x + u).Таким образом, формула (55.17) имеет вид proved. To докажите формулу (55.18), правая часть уравнения (55.20) представлена в виде суммы 2 интегралов в интервале интегрирования[—i, 0]и[0, i]. ОП(-и)= ЮЛ(и） (См. лемму 3). в результате мы имеем. Я 5н(.Р, Ф)= ^ ОП(у)/(Х + У)у = Я. 0 I = ~~ С ОП(у) НХ + у) ух + ^ ОП(у) ((Х + У) ухО, да. Я-это я. =〜(ОП(0 /(не / + я-5 ОП (у) 1(х + у) у = О, да. Я = $Ойя（/）[/（* + /）+ / —）] .

Первый Интеграл заменяет переменную f и использует резкость ядра Дирихле. Людмила Фирмаль

Формула (55.18) также была доказана. Ноль Доказательство, конечно. Фиксированное число b, 0 6 L, и представляет собой правую часть (55.18)в виде суммы 2 интегралов следующим образом: 6 I 55.21） Около 6 Функция m непрерывна、 2 81р-Nnchina [6, i] в сегменте / все I e [6, i]только. Ноль\ 2 2 «5-*-\、и функция [(x + 1)+ Cx-0 фиксированный 2 5″2） * Е [-я, я]является 2л-периодической по отношению к^, является абсолютной интегрируемости на отрезке[-я, я], и является абсолютной интегрируемости наB, я Произведение по теореме Римана Ox + 0±^ п]） 2 Мп (См. раздел 55.2 теоремы 2), 2-й Интеграл (55.21) справа от уравнения стремится к нулю для этого. 〜(/ П + 0 + / х-0 5} N (где N©1 = О (1), н-ОО. Б 2 5ш.

Определение ряда Фурье. Постановка основных задач.	Сходимость рядов Фурье в точке.
Стремление коэффициентов Фурье к нулю.	Сходимость рядов Фурье для функций, удовлетворяющих условию Гёльдера.