Применение теории интегралов, зависящих от параметра, к вычислению определенных интегралов

Оглавление:

Применение теории интегралов, зависящих от параметра, к вычислению определенных интегралов

Применение теории интегралов, зависящих от параметра, к вычислению определенных интегралов. До сих пор было 2 способа вычисления конкретного интеграла. Первый из них начинается с определения интеграла как предела интегральной суммы и широко используется в численных методах. Это подробно обсуждается в разделе 60.4. Второй метод уже широко используется, но он основан на нахождении интеграла встречной производной и применении формулы Ньютона-Лейбница. Используя теорию интегралов, в зависимости от параметров, можно получить точные значения конкретного integral. In § 54.

Кроме того, значение этого метода не применяется обычный способ использования формулы Ньютона-Лейбница, поскольку в некоторых случаях обратная производная вычисляет Интеграл функции, которая не является элементарной функцией. Людмила Фирмаль

Частичный Интеграл в зависимости от параметров Триста восемнадцать Пример 1.Предположим, вам нужно вычислить Рассмотрим функцию/(x, y)—и Интеграл Ксю 1-Х2 1 {г)= | /(■ * .Г)* * = | стринги-(54.30） Очевидно, что интеграл (54.29) отсюда равен y-1С §ags1 ху Ксю 1-Х2 O (1) x * 0 и АТХ&ху = 0 МММ… В Ксю 1-НД для x-1 и любого фиксированного y Интеграл (54.30) сходится относительно любого Y. \ Д {(х, y） От неравенства К (1 + x2u2)У1-Х2 。 Один; / г нLхУГ=УУ Кельт. .. Интегрирование^ u. u ^это интеграл (54.31） Он сходится равномерно по действительной оси и равен (y) согласно§ 54.3 теоремы 8. Ага. Меня/ 2 (1 +хУ) У1 −2424-00 _ Р. _ 3 \ + y2С052ф 1 + уу + Р Ву-Ву-Ву ags1§ 4-00 U1U U2 2U1 + г * ’ Переменный Интеграл x = cosf и? = 1§p, чтобы получить.

Из этого, согласно определению неопределенного интеграла、 В(Г)= ^ Т(Г)Ау = | » 1П(* / + 1ЛГ + 72)+ С. Но так как из (54.30) Y (0)= 0, C = 0 и ^(г)=%^ п(м +В.^ Т7)■ 54.4.Применение интегральной теории по параметрам Триста девятнадцать Теперь подставим y = 1, чтобы получить искомое интегральное значение(54.29 Г = /(1)= 5-1П(1 + К2). Интеграл (54.29) также может быть вычислен с использованием Интеграла параметра. mc ^ x = | / a, получаем} выражение А-г-ых г AU 1 KPD3!+ ** «„• О, да. Интеграл Один Да. (I + * Y) эффективность? Потому что 1, он сходится равномерно с y 1 1 С А _ это хорошая вещь… ._ И integer\converge. By Это, в (54.32), может изменить порядок интегрирования (см. теорему§ 54.3 6).Затем (используя непосредственно найденное значение интеграла, полученного в x） Да. (1 + * Г) В 1-** ДГйу.. =Д1п(1 +У2\ 2 ^ ИКН 2 В ПОДАРОК (54.32） / “ ) = 4-ОО 51p позволяют вести съемку быстро Ах. Икс Да. (54.33).

Пример 2. Расчет интегрального значения поскольку соответствующие неопределенные интегралы a> 0 не могут быть представлены в элементарных функциях, мы можем видеть, что этот интеграл не может быть вычислен обычным способом с использованием формулы Ньютона Лейбница. + КОМПАНИЯ / ( » ) = Я d1 = 1 ( \ ) Если 0 ■и =/если (1) 0 Интеграл (54.33) сходится для всех значений a. In факт, если a = 0, то f (0)= 0 очевидно. Однако, если a = ^ 0, ТО путем замены переменной 1 = ax、 § 54.Частичный Интеграл в зависимости от параметров Триста двадцать Интеграл / (1) сходится (см.§ 33.5); следовательно, Интеграл / (a) также сходится. Подробнее©для вычисления интеграла (54.33) Общий Интеграл I (a, P)= \ e-P * ax Ax О Под знаком интеграла мы формально различаем、 Получить Интеграл$ Е〜$ Х потому что топор.

В ванне P 0 сходится равномерно относительно параметров a, oo a + oo. Следовательно, в P 0(т. 1, стр. 26.4） Откуда дтса, П.） Да. {ОО Я ^ ’sox РЛ ах (1х А2 + Р2 C6 («P)= 1 [^ r + C (P) = aGC1?+С(Р). Но f (0, p)= 0;поэтому C(P)= 0. /(А, Р)=пцо1§^, П 0 Однако меня интересует значение Интеграла I (a, P) при P = 0.Проще всего обосновать возможность достижения предела под знаком интеграла/(a, p) как P / + 0.Фиксированное число 0, указывающее, что интеграл / (a, P) фиксированного aΦ0 сходится равномерно к параметру p интервала[0, b]. фактически, путем компонентного интегрирования (см. раздел 26.4)、 Асосы от 1 + Рзшах +°、 =е -?Х5-yyy5 + х А2 + Р2 ч 4-00 + ^ е $ х— сөз Ач] п 8tp-ах-ах А2 + Р2 » Г2」 Выберите% , а затем r \ < r \ r.

Интеграл представляет метод для его вычисления, основанный на подстановке некоторых интегралов в соответствии с параметром, который является определенным значением. Людмила Фирмаль

Неравенство 4-00 1 и сөз переменного тока +(5 ЯП переменного тока СЕ А2 + Р2 _J4. значение COS ах + П ЗТ х Ах А2 + Р2 Х2 \ а \ + А2 Б 1 е 1 ^ 2\’ 4-00 [а | + 6 С Х ^в А2 3 Х2 ^ 2-ч +°С 321. Тогда, м] » м] против е 4-х | северный.81. Ага. e, 5) относительно параметра p 5 •Я Интеграл/(а, р / ..«равномерная сходимость Р» Любой сегмент[O, b].Теперь теорема 4 по§ 54.3 54.4, применяя интегральную теорию по параметрам./(а)= ф(а,0)= ФМ / (а, р)= ФМ ags1?=5-51§па; 3 ^ + О П-«+ О П * Так… Необходимо обратить внимание на дифференциацию И по a (54.33) Интеграл дивергенции$ω$ axxc1x. О f(x, P), обусловленное наличием факторов e ^ x, p 0.

Признак равномерной сходимости интегралов.	Эйлеровы интегралы.
Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра.	Комплекснозначные функции действительного аргумента.