Оглавление:
Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра
Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра. При изучении свойств неправильного интеграла, зависящего от параметров, очень часто приходится иметь дело с перестановкой крайних переходов различных variables. So во-первых, мы докажем леммы, связанные с этим вопросом. Лемма 1. Пусть X и Y 2 числовых набора. Функция [(x, y) определена в произведении XxY (см.§ 41.2). Хех.! / EK; x0 и y0 являются частью числа или бесконечности oo, {°°co и существует предел Φ ()=т/ (, ( / ), xe X, а φ (y)=тт (x, y), yyy. Г+Г-Х + Х0 Пятница/(x, y)=пятница/(x, y). х * х0 Г-Е Г * Е х-х0 Доказательство. Например, предположим, что на X функция f (x, y) стремится быть p (x) как Y-+ y0 равномерно.
Если всасывание функции равномерно по крайней мере для 1 из указанных пределов, то оба повторных предела существуют и равны. Людмила Фирмаль
- Для фиксированного e 0 существует окрестность V (y0), так что неравенство, независимо от y e 0 (y0) YY ]и xeX 1 /(.Y) Ф (*) 1Т * (54.12） ^ ^О0 (y0) УУ и ^ > 0 (y0) (у,, тогда / f (x, YD-HX, y)\< \х, u)-φ (*) 1 + / Φ（ *）-/（、^）1 8 ’0 покажет вам проколотый район, как обычно $ 54. Неправильный Интеграл для зависимости параметров Триста двенадцать Если вы передадите его как «X + x» до крайности、 (54.13） Согласно критерию Коши о существовании пределов функций (см.§ 4.11), существование конечных пределов равно (54.13） Таким образом, доказывается наличие повторяющихся ограничений. Золото ф (г)= а Ч-Во Г» Е-Х-Н-х0 yx e V(y0) (/Y. исправьте это. Тогда вы получите его из (54.12) для y = Y1 и из (54.13) для Y2-+ Y0 соответственно !(x, Ud-Φ (x) 1^, / φ (Yx) Λ / ^ e. (54.14） Для всех yУсуществует существует предел {(x, y) = φ(y).
Итак… Х ^ Х0 Для фиксированного yx> 0 (y0) Yy, для всех xe (f (x0) X, для заданного e 0 существует окрестность V (x0) ！/ (*/х)-FY1 е.(54.15)） Из неравенства (54.14) и (54.15) для всех x> 0 (xn) [\X | п(х)-а | ^ | П(Х)-/(Х, ух)|+, 1 /(х, ух) Φ(т)|+) ф(ж)-а) Зе、 Это означает наличие повторяющихся ограничений А-Голд Ф(Х)=золото Пт}(х, г). Ноль Х * ■хо х+ х0 Г+ Е Теорема 4.предположим, что-oo a & <+ oo функции f (x, y) определяются всеми x e [a, b), y =и и смежны с[a, b) x в y>У. Тогда для любого r) e [a, b) функция[f (x, y) равномерно находится в интервале[a, m)], а функция p (x) равна V Y0 *и Интеграл б !(Х, г) ых(54.16)） Но… Сходятся равномерно к множеству Y, то Б, б. Деньги!(Х, г)ых -! Пн /(х, г) ух = $Φ(х) Φ (54.17） Г ^ Е А А Е а *Где е-число бесконечности со,+ со,—со или 1. 54.3.Характеристики параметрических интегралов Триста тринадцать.
- Доказательство. d); & если по§ 53.1 теорема 2、 Л, Л, Л, Л. Тю $ /(х, г) ух = \ Хм /(х, г) c1x =(р(х)ух.(54.18） Обхаживать. Итак, согласно определению неправильного интеграла, уравнение (54.17) можно переписать в следующем виде: л л \ Мм [(х, г) ДХ-Хм-мм ^ /(х, г) ух. (54.19） о л-« ч-б-о-й-УО а Поэтому остается доказать возможность перестановки порядка предельных переходов функции Φ (г, х)= $ /(х, г) ЛК. Но… Это получается из леммы, которая доказана above. In факт、 (54.18) PmΦ (y, r|) ограничено. Между тем, существующее Есть ограничения л HmΦ (г, р])= тю \ /(х, г) ух=} (х, г) о、 Л-О-Л-6-0а а Здесь, согласно гипотезам теоремы, предел стремится быть однородным для множества V. Таким образом, эффективность равенства(54.19) получается непосредственно из описания леммы.
Теорема 5.Определите функцию f (x, y) и сделайте ее непрерывной (как функцию от 2 переменных) с полуоткрытым » прямоугольником」 {(Х, Y). а ^ х, с ^ г асы}、 -совместно с•6 сотрудничество, сотрудничество по КТС К \ со. Тогда, если Интеграл Φ (y)= \ XX.)) gx сходится равномерно Но… [c, d\, является непрерывной функцией на этом сегменте. Доказательство. все, что У0 <[с, Г], как функция Я (х, г) г-е любого интервала[а, г|], есть. Функция f (Х, Y) равномерно на B(см. п. 39.4).Следовательно, согласно предыдущей теореме (см. (54.17))、 б, б. HmΦ (Г)= $ мм((х, г) ух = !(Х, У0) ух =Φ(У0). Я не уверен. У〜 У-О-У-У-а § 54.Частичный Интеграл в зависимости от параметров Триста четырнадцать Теорема 6.Если выполняется предположение теоремы 5、 \ Ф(г)ды = \ АУУ(х, г)ух =-\ ух }(х, y) ый. (54.20 )） И Л Д)111? [] АС} (Х, г) ух = \ \ДХ!(Х, Y). (54.21） И И затем.
Согласно теореме 2 в левой части уравнения (54.21) мы можем достичь предела под интегральным знаком. Людмила Фирмаль
- Доказательство. М] для B, по теореме 3,§ 53.1、 Я Функция Φ (y, k])= / / ( * , y) xx непрерывна в y и η > b-9 Но… Сегмент.[если у вас есть какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь обращаться us. So, m)—6-0. y \ Хм ый \ [(х, г)ух = тю \Φ{г, м((г, г) гг = а б = ^ ф (г) Ас=] Ау ^!(Х, Y) c1x; И Результирующий предел равен finite. So, для μ > b-0 правая часть уравнения (54.21) также имеет такое же ограничение. Это связано с определением неправильного интеграла、 $ & $ /( * , г) □ И затем Докажем 1 теорему о перестановке порядка интегрирования, когда оба интеграла неверны. Теорема 7.Функция} определить (x, y) и n.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
