Первая квадратичная форма поверхности

Оглавление:

Первая квадратичная форма поверхности

Первая квадратичная форма поверхности. Представление заданной гладкой поверхности r = r(u, v), (u.!Исправить E) и рассмотреть самолет, который прикасается к нему в определенном месте. Как мы видели, векторы ги и Ги составляют основу этой плоскости. Векторы в касательной плоскости представлены c1r, а их координаты-ri и rn-yi и c1o*.Подобный этому (1р = га(1У + ^ ИД. Найти 2-ю степень длины вектора в касательной плоскости, представленную координатами естественного основания gi и gi(в линейной алгебре эту формулу обычно называют основной метрической формой рассматриваемого пространства, в данном случае плоскости). \ УГ \ 2 =(guiyi + Р,0yy) 2 = Guiyi2 + 2yrr, Йи йо + r1yog. Введем обозначение Е = К, Р = р Йи, U, о =(50.17).

Тот факт, что квадратичная форма задачи называется первой, объясняется тем, что существуют и другие квадратичные формы, связанные с поверхностью. Людмила Фирмаль

Это обозначение естественно, потому что если вектор тангенциальной плоскости касателен к кривой на поверхности (50.8), то при соответствующем выборе параметра вектор π становится производной вектора (50.8), и поэтому уравнение (50.9) выполняется. 。 § 50.Элементы теории поверхности 248. И затем… | ig21 = е УУ + 2Р ух я + о Б2. (50.18） Определение 17.Квадратичная форма Euu2 * 2 pийu > 0 называется первой квадратичной формой поверхности. Посмотрим, как она изменяется при переходе поверхности в другое представление (см. формулу (50.14)). как известно (см. (50.16)), базис рассматриваемой плоскости преобразуется с помощью матрицы Х / ф «Фи 1 Ф » FС1.

Таким образом, координаты вектора преобразуются с помощью транспонирующей матрицы, то есть Якобиана Я ЗМИ Ф-Н-Я II F «F» I При представлении поверхности r-r (u, o) и при представлении p = p (u, r^) A первая Матрица 2D-формы (50.18) имеет вид / Е Л | Е ОИ ’ Например, РГ Р1 о、 Е = Г1, П = gagt с-г％、 Эр-Пу! Pp, Pr-P^) 01 = = Po, то, как известно из курса линейной алгебры, первая 2-я форма поверхности, вообще любая 2-я форма、 А = Г * Ар /、 ^ * Обозначает матрицу, транспонированную с Якобианом^. Или ЕС-Р2 =(E1C1-П \） (50.19） Соответствующий квалификатор см. здесь Е Р Е1 РГ фай фай 2 РГ ОГ фи г(Т1?1) / а 0(У, в).

Их исследование не является частью задачи этого курса. 50.6.Кривые поверхности 249. По его определению, первая 2D-форма положительно определена (фактически,»2 2-Mn2 0, то есть ЁООО,|г| 2 0), и поэтому дискриминант положителен. ЕО −2020.Однако, поскольку сингулярности нет, неравенство ψ0 и /% Φ0 истинно, поэтому e 0 и 0 0 непосредственно формируются из определений коэффициентов E и O (50.17). Если вы знаете первую квадратичную форму поверхности, вы можете решить множество связанных с ней задач, таких как нахождение длины кривых на поверхности и углов между ними, даже если вы не знаете уравнения поверхности, например, вычислить площадь части поверхности.

Все свойства поверхности, которые могут быть установлены на основе геометрии поверхности, называются внутренней геометрией поверхности. Людмила Фирмаль

Мы рассмотрим такой вопрос. Упражнение. 7.Один из следующих форматов 2-го порядка действует как первый формат 2-го порядка поверхности. а) Li1 \ 3c1i до+ | c! b ’2′, b) Li1 + BDI от 9ds2 \ c) Li2-6 (1 и ранее! В)2; г) ди2 -] 2ДИ к-Ла 8.Найти первую 2-ю форму геликоида (винтовой поверхности) x = u 08 n, y-u 5 и r = ao + /(u) (a = coop (, / произвольная дифференцируемая функция). 9.Докажите, что первая 2D-форма плоскости вращения сводима к 6i2fC (u) do2. Рассмотрим непрерывную дифференцируемую кривую (50.7) на этой поверхности (50.8).Предположим, что отсчет длины дуги 8 = 5 (()) выполняется в направлении возрастаПараметр, который is—0.As известно (см.§ 16.5）、 6 $ Но… дециграмм 6.1 Для этого Из 55= / c1r\, следовательно, (50.18), з2-|L2-L2-L2 = L2 = E Li2 \ 2P LiLofS La2 $ 1 И затем Итак, для длины кривой b (50.8) получим выражение b. 1 = 6и \ 2 Шесть（ Я на os 6i. l / d \ 2,, + 2Р ВТ! Т +° Шестьдесят один].

Поверхности, заданные неявно.	Кривые на поверхности. вычисление их длин и углов между ними.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.	Площадь поверхности.