Криволинейные интегралы второго рода

Оглавление:

Криволинейные интегралы второго рода

Криволинейные интегралы второго рода. Многие математические и прикладные задачи приводят к различным типам интегралов кривой. Например, если r = r (I) радиус-вектор движущейся материальной точки, А P ^ = Gu) сила, действующая на эту точку, то естественно определить работу силы P вдоль траектории Γ рассматриваемой точки Как Интеграл\ Rdr, или если (=(P, (2, Я), и dt = ^(dx, yy, dg), r Как Интеграл в координатной записи \ Pc1x +(1-й + Яиг.(47.4） г Помните об этом (см. раздел 16.5） • ^ = ω$а,= soy AR, ^ = soy AR, (47.5） * Напомним, что это условие означает, что сингулярность кривой не существует (см. Определение 16-4§ 15). Ф 47.Интеграция кривых Сто девяносто два Где I =(co $ a, co $ y) единичный касательный вектор, а Интеграл (47.4) может быть формально представлен в виде ^(Роза + fozr + Yasoz в) ДЗ. Теперь мы сформулируем строгое определение.

Обратите внимание на некоторые характеристики криволинейного интеграла второго рода. Людмила Фирмаль

Интеграла формы (47.4). пусть γ-AB-кривая в гладком направлении, то есть кривая в непрерывно дифференцируемом направлении без сингулярности. Тогда есть это непрерывно дифференцируемое представление r (0 = {* =Φ(0 * / =Φ (0. р = х(0.6), А = Р (А), Б = р (б）、 Ф ’2(0 +Ф ’ 2(0 +Х’2) (0 + Х’ 2 (0 0、 5 = 5 () переменная длина дуги, 0 ^ 5 ^ 5, 5-длина всей кривой y, (const, cos | 3, ω$ y) единичный касательный вектор кривой, a (s), p = P(s), y = y ( $ ), 0 c $ c; 5, как и в предыдущем разделе, определите множество функций p {/( / ), a-y. c b) все точки кривой y. Определение 2.Интеграл$ P (x, y, r) dx определяется в следующем виде логический том Мул. ^ П (х, г, р) т = $ п (х, г, р) ω$ АИ$. (47.6） АБ АБ Точно так же, по определению、 \ Р(Х, Y, Р)уу = ^ е(х, г р) ж $ 0z, и、 АБ АБ §П(Х, Y, р)—§п (х, г, р) со&ый. (47.7） АБ АБ Интеграл в виде (47.6) и (47.7) называется кривой 2-й вид Интеграла функции P вдоль кривой AB.

Естественность этих определений очевидна из Формулы (47.5).Для краткости я ограничиваю его только случаем интеграла (47.6). 1°.Если функция P непрерывна на кривой y, то есть функция P [r (f)] непрерывна, а если xx (r; b), то Интеграл (47.6) существует. Фактически, при допущениях, сделанных относительно кривой y, функция/ = /(5) (/параметр кривой y, 5-переменная длина дуги) непрерывно дифференцируется по интервалу[0, 5]. Таким образом, функция cos a =непрерывна на этом интервале、 47.2.Тип 2 интеграция кривых Сто девяносто три Таким образом, благодаря характеристике 1°2 интеграла кривой класса D2 (см.§ 47.1), существует Интеграл (47.6). Я не уверен.

Для остальной части этого раздела, Для простоты, мы предполагаем, что функция непрерыв непрерывна на кривой y. In это дело, все Интеграл, написанный ниже, явно существует. 2°.Интеграл кривой типа 2 меняет знак по мере изменения направления кривой. 5 П (Х, г, р) ДХ =-> Р (х, г, р) ДХ. Кв ра Фактически, если a-угол, образованный положительным касательным кривой в положительном направлении Ab является осью OX и имеет положительный угол наклона кривой БА в оси Ox. Для соответствующей точки это будет a ’= aA-n(рисунок 189), и, следовательно, в$ cc ’ = $ a Использование свойства интегральной независимости кривой типа 1 относительно направления кривой (см.§ 47.1）、 ^ П (х, г, р) ДХ =§Р(х, у, Z) сөз’dz = §Р(х, г, р)c8c5J5 = ра ра ра ра ра = $Р(х, г, р)соз = $ Р(х, г, р) УГ. АБ Ку.

Таким образом, эта характеристика интегрирования кривой типа 2 является интегрированием кривой ^ П (х, г, р) т и п (х, г, р) т кв ра Равен соответствующему интегралу кривой типа 1, подынтегральная функция которого отличается только знаком. Ноль 3°. Если P-непрерывная функция на кривой y, то формула для Интеграла (47.6) ^ P(x, y, 2) Х= 5 /., [Φ(0.Φ (0 X (0) Φ ’(0 ^(47-8） АВ° На самом деле, согласно определению (47.6)、 В 5П (Х, Y)、2）^ 5 = 5 77 [^（5）。 г(8)г(H)] Соза (ч) УГ. SQ 0 § 47.Интеграция кривых Сто девяносто четыре Произведите изменение переменной 8 = 8 (1) в правом Интеграле этого уравнения и запишите ее (47.5) cosa = s c! См Х Х \） = ЛГ = = 7′ полу-научить™ Пять [*($), у (8), 2 (ч)] С08 ОС ($) Д8 = Да. б, б = $ ^ [φ(0.с(0.5 с(0]-^ 5Л= 5 ^ [Ф(0 *Ф(0Х(0)ФН0^-□ Но.

Заметим, что интегрирование в правой части этой формулы также оказалось независимым от выбора параметров на кривой, которые удерживают ее ориентацию. Людмила Фирмаль

В некоторых случаях, когда переменная x может быть использована в качестве параметра 1, то есть представление кривой y равно y = y(x), r = r(x), A ^ x ^ b, и поэтому существует не более одной точки, функция P является не только точкой кривой, но и функцией соответствующей точки пространства(в этом случае функция P-это точка пространства). В этом случае выражение (47.8) принимает вид: б \ п(х, г, р)т = ^ п [х, y(х), р(х)] ух. (47.9)） В а 4.Интеграл§П (Х, Y, Р) ДХ、 AB Точнее, интегральная сумма, описанная в терминах, связанных с кривой y. пусть m = b-разбиение отрезков[a, b]、 6T-его тонкость, e [ / , _b 1 { \ , 7 = 1, 2.

Замена переменных в n-кратном интеграле.	Расширение класса допустимых преобразований параметра кривой.
Криволинейные интегралы первого рода.	Криволинейные интегралы по кусочно-гладким кривым.