Понятие объема в n-мерном пространстве (мера Жордана). Измеримые множества

Оглавление:

Понятие объема в n-мерном пространстве (мера Жордана). Измеримые множества

Понятие объема в n-мерном пространстве (мера Жордана). Измеримые множества. кратко напомним основные понятия, связанные с определением n-мерного объема (площади в случае n = 2), и дадим новое определение. Разделение понятия на заданный объем (меру).Это отличается от того, что было введено ранее (см. раздел 31.1). HN в N-мерном евклидовом пространстве (n = 1, 2,3,…И чтобы. Эта точка, как обычно, x-(x1,…хп).Где XI, 1 = 1,2,…n-это Координата точки x в фиксированной системе координат. Неотрицательное целое число k(k = 0, 1,…Исправить это.)Первая координатная ось ((=1, 2,…, n), то есть координаты X!= …х ^ р-x1n = … Рассмотрим множество точек x с = X / r =0. х,= 1 () РМ, М-0、±1、±2、…Через эту точку с координатами в виде Гиперплоскость размерности η-1, ортогональная этой оси.

Кроме того, множество лежит находится в многограннике»строго внутри», то есть оно не пересекается. Людмила Фирмаль

Все оси x {, (=1, 2,…множество всех таких гиперплоскостей, построенных для, n), порождает ЭТОМЕРНОЕ замкнутое кубическое семейство форм: Оп = {сек. Ш ^ х ^!ПШ’* = 1’2 «}•(44Л Где: (=1, 2,…в случае, n, все наборы целых чисел выполняются независимо. Куб(44.1) называется кубом ранга k, их комбинация обозначается Tk, k = 0, 1. Множество всех кубов ранга k четко покрывает все пространство. Л » = {] 2НЦН ^ ТК 2 куба одного ранга Могут иметь только часть общих граничных точек. если η= 1, то куб (44.1) однозначно является отрезком, а если η= 2, то квадратом. 44.1. понятие объема n мерного пространства От Число 1/10 * l называется L-мерным объемом Куба (44.1).、 №^ 1ч «\ Для множества 5 является объединением конечного или Счетного числа различных кубов ($определенного ранга k,/ = 1, 2 5 = У0 /、 У.

Объем его Р-размерности определяется уравнением 11 (44.2)） В Очевидно, что p5-неотрицательное число или+ oo. Здесь пусть это произвольное множество% N. 5 * = 5k(E) представляет собой множество точек всех X-мерных кубов ранга k, которые все находятся в E, а 3k = 3k (E) представляет собой множество точек всех X-мерных кубов ранга k, которые пересекают множество E, соответственно…） 8К(Е)= Г Эл、？л = я 8К (Е)= Г 2А, рН <ТК. Итак, все Кубы ранга k, содержащиеся в zk, находятся в множестве E, а Кубы ранга k, содержащиеся в 5k, образуют покрытие множества E(рис.163), то есть 5 *(E) и 5 *(E). Сто шестьдесят три Покайтесь на той границе ДЗК. Конечно.

Точка xe ^ ^ ^(не может существовать, если она является границей 3K. Ранг K принадлежит грани куба. Рассматриваемый куб замкнут, а следовательно, по определению многогранника 5 /;все Кубы ранга K. заданная плоскость. Это ли, так что этот пункт не будет границы ЗК. (-5 ^ С -….(-5 / g SI 5 / ^ 4~!（-••• $ 0 = ^ 1 = = e 5 * = e 5 ^ 1 = e … $ 44.Кратные интегралы Сто четырнадцать Так что по определению (44.2） p. 5o P ^ 1 ^••• ’-••• П50. p5x … 2 = » П » 5А ^ Р5 (,+ 1 ^…..(44.3） Следовательно, если член является действительным числом/?Мы получили 2 Монотонные последовательности, которые являются элементами расширенного множества. (См.§ 2.5), то есть неотрицательное действительное число, или+ sy. Следовательно, против любого множества E c.

Kp всегда имеет конечный или бесконечный предел Орел q $ k(E) и золото p5y(E). то * * * ОО то * * так Определение 1.Конечный или бесконечный предел Hsh rz (E） До −4° Она называется нижней или внутренней n-мерной Жордановой мерой) и обозначается p%E. Золото (15 * ( ^ ), (44.4） к + СО До предела Pm (E) называется верхним или внешним размером p К -► -] и Является Жордановой мерой множества E и обозначается через y * E. п. п. С5 *(е). (44.5） к * 4-компания Если измерения Нижнего y * E и верхнего p * E множества E конечны и совпадают, они называются измеримыми по Жордану. Общее значение нижней и верхней иорданской меры измеримого множества E обозначается yE и называется n-мерной иорданской мерой или n-мерным объемом E. Е = Г * Е = Г * Е (44.6） Для пустого множества, по определению, pf=€.

Под измеримым множеством, как показывает значение слова «измеримый», в математике понимается точечное множество, которое может быть измерено любым способом, то есть соотнесено с некоторыми неотри, согласно определенным правилам. Людмила Фирмаль

Иногда вместо pE пишут pE, чтобы подчеркнуть, что вы говорите о заданной мере. E считается точным n-мерным подмножеством пространства. В будущем, для простоты, мера Иордании часто просто называется мерой, а набор, который может быть измерен в Иордании, просто измерим. дательный-это объем для 3-D, площадь для 2-D и длина для 1-D. размеры ** К. Жордан (1838-1922) французский математик、 44.1. понятие объема n мерного пространства Сто пятнадцать В случае пространства η> 3 множество Жорданов, которое может быть измерено в этом пространстве, также называется ревизией, а в случае η= 2 оно называется 2-м. Термины 3-и-2-и-набор.

Стационарные точки функции Лагранжа.	Множества меры ноль.
Достаточные условия для точек условного экстремума.	Определение кратного интеграла.