Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума

Оглавление:

Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума

Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума. В этом подразделе предполагается, что все функции f0,…являются непрерывными дифференцируемыми в открытом множестве C. Теорема 1.Когда выражение ограничения (43.3) выполнено, пусть x ’ 01-условный экстремум f0.Тогда в этой точке градиент T / 0, V/,…T / m линейно зависит. То есть не все нули, а числа H0, H1…Км существует РАО ^ [о т-р * тд + РМ =0.(43.10)） Полученное уравнение ограничения (43.3) относительно функции f°градиента в точке x ^°условных экстремумов… если \ [m линейно независим, то есть ранг Якобиана (§Д、） ’/ = 1″ 2•••Т’ ’= 1 2•••’н ’ Если он равен m, то такой bt …в этой точке есть т. ^ o+ 2 ^ // = 0、（43.11） / = 1 То есть V [0-наклон T / … …. В.,,,/Это линейная комбинация В формате координат это условие имеет формат.

Условие означает, что если x0 является условной крайней точкой функции f относительно уравнения ограничения, то это стационарная точка функции Лагранжа. Людмила Фирмаль

Точка x {0, i-1, 2,…н. т. / +2′!» 043| 2 Y = 1 Особенности т. Р(х)-у(Х)+ Я] Г;(х), (43.13） / = 1 Где количество Н1… Км удовлетворяет условию (43.12) и численному значению H1, которое называется рассматриваемой задачей функции Лагранжа… Сам Hm называется множителем Лагранжа. Девяносто семь Д-р(г ««） 0×1.0, г-1, 2 н. (43.14） 43.2.Лагранжа метод множителей Прежде чем доказать теорему, мы уточним ее смысл и покажем, как с ее помощью находить точки условных экстремумов. Во-первых, любое число H,…Заметим, что в функции вида Hm (43.13) каждая точка ее условного экстремума является точкой условного экстремума исходной функции f0, и наоборот. R1 вот так.

Выберите значение Rn, чтобы гарантировать выполнение условия (43.12).То есть пусть эта точка условных экстремумов является стационарной точкой функции (43.11). Чтобы найти точку условного экстремума, неизвестного xT’,…. рассмотрим систему уравнений N + m (43.3) и (43.10) на Rm, 01 и решим ее (если возможно) x’?Узнайте больше. , x +и, возможно, исключение Я…..И я, сказал он. Сформулированная теорема указывает, что все точки условного экстремума являются точками, найденными таким образом(x ’ 1,…если вы хотите быть в состоянии сделать это, вы должны сделать это.

Рассмотрение проводится в разделе 43.5*. Доказательство теоремы. Докажем описание, соответствующее теореме. Точка x10’ (x) 0 ′ в поле… если, x’n) удовлетворяет уравнению связи / U *(0))= 0, u = 1, 2,…м, (43.15)） Градиент в/,,, УД… Поскольку UD линейно независим, x (0) не является условной точкой экстремума. Поэтому, УД, УД,…УД-линейно независимы и, следовательно, занимает Якобианом / = 0, 1,…м, р-1, 2,… …, n, равно m + 1.Тогда в этой матрице есть минор порядка m + 1, который не равен zero. To будьте ясны, первый столбец m + 1, то есть (43.16)） О Ф. Х = Х ’ 0 Д ((0, Д,….！т)г (1, Х2,…Хм + Т） Потому что множ открыт, δ00 присутствует, для всех δ, 0δδ0、 ($ = {х.| х -, ХС | Б, = Д 2、••••»} Поскольку он находится в C, все функции D, D,•••I 1m-определены 4 Кудрявцев Л. Д. Два $ 43.

Условные экстремумы Да. х, н] 2 = Хм + 2,…исправить xn-x’N и ввести обозначения Х * =(Хм,…Х, н 1-1） φ^ + 1 = | x *; / x.x’»| ;））/ = 1、2、…. М + 1}. Г \—^ М + 1″^ БН + 2 *• ＃2-/ 1（^ 1•••-^ ИД + Б ^ М + 2″•• * я Я.） (43.17） Очевидно, что функция/,• (b …, rm + b * α+ 2•■, x’n’）、/ = 0、1、…m непрерывно дифференцируемо в любом месте C. ^ 1 + 1-Подумайте о карте F 3 ^ + * -^ /? От + 1, приведенного в выражении (43.16) точкой x * 10 * =(x \°\ …. о x ’ t + 1) УТ + 1 ^ / гг-1 с*’!) • * * «^yyt номер»2、••• U1} Низкое давление;• д (Йи■ ■ «Утл»д д(И Д,.* / yyg） d (xi.* » xm + 1)* * = * * 0 d (xxx2,..* «хм + 1)х = ХН » (43.15) x°））=（ （0））•••0).

Вопрос о том, какая из них действительно становится точкой условного экстремума, требует дополнительного исследования. Людмила Фирмаль

Поэтому(см. 41.8 к Ремме 7 о локальной обратимости непрерывных дифференцируемых отображений в том, что Якобиан не равен нулю） В = {г =(ИБ■ ■ ■ УТ + 1). 。 \ У1〜В0))\ э、 ый | е,/ = 2,3,…м (-1 )} (Рис. 159), поскольку обратная карта Φ определена、 Включение (/(x (0))±m|, 0,…0) eY, то Точка x ’* =(x ’ 1…, x’m + 1) и x «* =(x» {,…х » н | _!это не. Они сопоставляются с точками в окрестности V, указанной под картой Φ. 。 Φ（* ’）= 00））+τ0,…, 0), Φ(χ»）=（/（*» «）-d), 0,…0). Для краткости, x ’=(x ’ i …. х т +и X ^ + 2,…4?Если вы положите И X «(X ’ [, Xm + 1, Xm + 2, X’N), то запись В частности, для любого T), 0 e e、 43.3 *.Геометрическая интерпретация метода Лагранжа (43.17)). ！о(Х’) = В0))+ ч \ НХ(0））、 Ч(Х ’)= 0, к = 1, 2 м х эф И затем ЖЖ = / о ((0))-р] /((0)). P (x») = 0, d = 1, 2、 Из-за семантики 6 0, 0 6 b0 это означает, что x (°) не является точкой условных экстремумов. Тс Доказательство, конечно.

Достаточные условия зависимости функции.	Геометрическая интерпретация метода Лагранжа.
Понятие условного экстремума.	Стационарные точки функции Лагранжа.