Неявные функции, определяемые уравнением, в котором нарушаются условия единственности. особые точки плоских кривых

Оглавление:

Неявные функции, определяемые уравнением, в котором нарушаются условия единственности. особые точки плоских кривых

Неявные функции, определяемые уравнением, в котором нарушаются условия единственности. особые точки плоских кривых. Координаты точки x 0)=(x (10),…. уже известно, что X {^) удовлетворяет уравнению. П(Х1…. хп)= 0(41.76） Врач. И потому что в этот момент производная не равна нулю、 Соответствующее условие формулы (41.76), наложенное на непрерывность самой функции P и указанной производной, может быть решено в окрестности точки x (0) относительно x, и решение является непрерывной дифференцируемой функцией остальных координат. Естественно, возникает вопрос. И что происходит, когда точка x (0) исчерпывает частные производные для всех аргументов? В этом случае формула (41.76) решает, следует ли определять функцию или нет? Давайте подумаем над этим вопросом. Однако из-за своей сложности она ограничивается рассмотрением 2-х дел. § 41.

Сингулярность называется изоляцией, где есть окрестности, где она является единственной сингулярностью. Людмила Фирмаль

Неявная функция Семьдесят два Итак, рассмотрим уравнение Р(Х, Y)= 0,(41.77） Здесь функция ена определена и непрерывно дифференцируема в окрестности точки (x0, y0). п(х0,У0)=0.(41.78） Позвольте мне. R. x (xo, yo)= ru (xo, yo)=0.(41.79） Даже при этих условиях уравнение (41.77) может быть решено в окрестности точки (x0, y0) относительно 1 из переменных, поэтому мы можем видеть, что получаем непрерывно дифференцируемую функцию. Однако сделать это можно, вообще говоря, не по-своему. Таким образом, условия P1 (A’O, y) + P%(x0, yo) φ0, (41.80） В этом случае (см. (41.79)) не выполняется, и поскольку теорема 1 неявной функции может быть применена к 1 из переменных, то естественно назвать условие однозначной разрешимости уравнения (41.77). Определение 12.Точка, координаты которой удовлетворяют условиям (41.78) и (41.79) (x0, Y0), называется сингулярностью уравнения (41.77).

Геометрически это означает, что если уравнение (41.77) является неявным представлением произвольной кривой, то в окрестности сингулярности этого уравнения кривая не является, вообще говоря, графом гладкой однозначной функции(если выполняется условие (41.80)).Для простоты я покажу вам нотацию rxx в(Хо, УО)= PXXI ру(х0, УО) Rhug руу (Хо, УО) руу Теорема 9.Определите функцию P (x, y) и пусть она является непрерывной производной 2 раза в окрестности изолированной особенности (xa, y°) выражения (41.77).、 Р «ro_p -’ г-о г-г-г-г-г-г ИИ г Ху иСледующий 11хр1у рахуо, (41.81） (x0, yo) является изолированным решением формулы (41.77).То есть существует окрестность точек (x0, ya), а точки нет. 41.9.Характерные точки Семьдесят три кроме того, (x0, y o) не соответствует формуле (41.77).Если PHR1U-K 0.

Уравнение (41.77) может быть решено в окрестности точки (r0, yy), но оно не является единственным. Существуют 2 различные дифференцируемые функции, удовлетворяющие выражению (41.77). поэтому в этом случае(x0, y и) называется двойной точкой. Например、 Руфо, (41.83） Тогда есть 2 дифференцируемые функции, fx (x) и f2 (x), определенные в окрестности xn, в этой окрестности: P (x, Mx))= 0, P (x, f3 (x)) = 0, и далее, f1 (x0)= M- o)=и функции f (x) и f2 (X) в точке x0. Различные корни уравнения Г1х+2Рх1к+Р*,,,, # = 0 *К(41.84） Proof. So что условие (41.81) выполнено. Наряду с (41.79) достаточно иметь строгий экстремум функции P (x, y) в точках (x0, y0) (см.§ 40.2 теоремы 3).Таким образом, поскольку существует точка (I в окрестности x (1, y0)), (x, y) ∈ и и (x, y) φ (x0, y0) или всегда P (x0, y0) P (x0, y0), или всегда P (x0, y0) P (x0, y0), и поскольку P (x0, y0) равно 0, все (x, y) ∈ 対, y 対 E (X, Y, y0), P (X0, y), P (X, Y), p (x, y), x, y) φ0 x, y) φ (x0, y0), то есть (XA, Y0) является изолированным решением формулы (41.77)**).

Доказательство этого утверждения состоит в том, что (x, y0) не является изолированной сингулярностью, а только сингулярностью, где выполняется условие. Людмила Фирмаль

Так что условие (41.82) выполнено. Разверните функцию P (x, y) до 2-го порядка, следуя формуле Тейлора в окрестности точек (x0, yo).Затем рассмотрим условия (41.78) и (41.79), чтобы получить его. Р (х, г)= = [Rxx в(х-х0)2 + 2П%(х-хо) {г-е)+ г°гг(г-е)2] 4-О(Р2）、 (41.85） Где r-Y(x-x0) 2 +(y-yo) 2. положим X-x0 = RCO $ p, r / r / 0 = R8) Φ.Очевидно, что (r, (p) Полярная Координата точки(x, y), а точка (Xo, yo) считается началом полярной системы координат. * ’Корни этого уравнения действительны и изменяются в зависимости от условий (41.821 и (41.83)). (41.81). $ 41.Неявная функция Семьдесят четыре По этим координатам п(х, г)= ^ р(rxx в C032p + 2Р%поп-8сп + п ы 3P2p)+ о(Р2)= = г п (φ)+ о (^2), (41.86） Куда? p (f)= P°xx POPs 2 + 2P%POPs 81P f R’uu 8SH2 f, (41.87） Или, к-0、±1、±2、…、 П(φ)=СОЗ2ф(Р хх°+р\у1§ф+Р%у1§ 2ф). (41.88） Здесь мы предполагаем, что условие (41.83) также будет выполнено. пусть KX и k2-корни уравнения (41.84), φ1= aq!§^ 1 и Φ2= aq1§ & 2-для.

Дифференцируемые отображения.	Замена переменных.
Отображения с неравным нулю якобианом.	Понятие зависимости функций.