Разложение элементарных функции в ряд Тейлора

Разложение элементарных функции в ряд Тейлора

Разложение элементарных функции в ряд Тейлора. Во-первых, найти разложение ряда некоторых основных элементарных функций. 1.Расширение ряда функций} (x) пример. ^ n) (x) является ex, поэтому все xe e(—H, H) И все η= 0, 1,… Таким образом, выполняется условие теоремы 9 (x0 = 0); следовательно, функция ex разлагается в ряд Тейлора (37.34) на любом конечном интервале, а следовательно, и на всем вещественном axis. In этот случай/ l»(0)= 1, поэтому форма этого разложения является Напомним, что он был установлен в пункте 36.1 Она полностью сходится ко всей комплексной плоскости*’.Если действительное число r = x, то видно, что сумма равна ex. In случай внутренне сложного r, его сумма, по аналогии, выражается в ex; следовательно, выражение Для комплекса r это определение функции e〜.

Это получается из сходимости ряда (37.40), который согласно теореме Абеля доказан по всей вещественной оси. Людмила Фирмаль

• Здесь 1 | x0 / \ X-x0 / G (37.38) спасибо Это определение является natural. In в 1-м случае, в реальном случае r-x, эта функция совпадает с экспоненциальной функцией ex, поэтому во 2-м случае функция ex содержит многие характеристики функции ex. Например、 Для сложных rx и r2. Поскольку мы знаем, что ряд (37.41) сходится полностью, то ряд Вы можете умножить термины на термины(см. раздел 35.10), и результирующий ряд также полностью сходится, поэтому его члены могут быть размещены в любом порядке. Соберите все условия, включая одинаковую сумму N-\ m продуктов, и поместите группу этих членов в n \ m для увеличения. 2.Расширение серий sx и cxx. Если вы замените x в выражении (37.40) на-x(что просто означает изменение обозначения), вы получите.

Если сложить и вычесть равенства (37.40) и (37.43) и разделить их на 2, то: Справа от этих выражений находятся ряды Тейлора функций cbx и$ bx, обусловленные единственностью функции разложения степенного ряда. Поскольку функция e ^определена для всех комплексных чисел r, вы можете расширить внутренне сложное значение аргумента, установив гиперболические функции s ^ x и cK x. Cb и b комплексного числа r, определенного как таковое, расширяются до степенных рядов (37.44) и (37.45) и сходятся через комплексную плоскость(в этом случае x означает комплексное число). 3. L расширение линии. И использовать$ х. Формула Эйлера. для F(х)= 81pd, ф(п)(х)= Си(х + N(см. Раздел 3 10.1 пример）、 Итак| / (n) (x)|1 для всех действительных x. согласно теореме 9 это означает, что функция zx x расширяется до степенного ряда по действительной оси. Вспомним формулу Тейлора знака (см. раздел 13.3) и получим ряд Тейлора ztl.

• Аналогично, чтобы обсудить и вспомнить формулу Тейлора Косинуса, получите ряд Тейлора. Он также сходится на всей реальной оси. Из за абелевой теоремы (см.§ 37.1) ряды справа от формул (37.46) и (37.47) также сходятся для любого комплексного числа x. это расширяет синус и косинус до комплексного значения аргумента и возвращает комплексное число r В сложных дисциплинах связь между экспоненциальной функцией и тригонометрической функцией может быть легко установлена. established. In в серии (37.41) мы сначала заменяем g на GG, а затем gg. Теперь я это заметил. При сравнении этих уравнений с (37.48) и (37.49)、 Формула продолжается и непосредственно от них. Конечно, эти выражения особенно справедливы для действительного г. Формулы (37.51) и (37.52) называются формулами Эйлера. Обратите внимание на 2 простых приложения.

Если R-p реально в выражении (37.52)、 Таким образом, комплексное число модуль R и аргумент φ Может быть записано как Если мы положим здесь r-1, то, следовательно, φ= ,、 Связь чисел s, i, L Напомним, что в математике числа i, e и r возникли в совершенно разных отдаленных случаях. Численное значение i-отношение окружности к диаметру, e-основание экспоненциальной функции, дифференциальная функция совпадает с самой функцией, а мнимая единица r введена таким образом, что существует решение каждого квадратичного уравнения. Используя формулу Эйлера, можно легко найти аргументы модуля и числа e2 (r = x + 1y).Конечно (см. (37.42)）、 Отобразится новое свойство. Указывает, что абсолютные значения синуса и Косинуса в области комплексных чисел могут превышать 1 и не ограничиваются абсолютными значениями.

Знак и косинус сложной области имеют много свойств, которые находятся в реальной области, но не все. Людмила Фирмаль

• Заменить строки (37.48) и (37.49) на G. Если сравнить полученный ряд с рядами (37.44) и (для x-r) (37.45), то получим: В частности, фактический r-y На мнимой оси видно, что абсолютные значения функций zt r и cosz не ограничены. Как свойство нового типа, которое появляется в экспоненциальном e? В сложной области это также указывает на ее цикличность.*То есть это доказывает, что период функции e *равен 2sh. 4.Последовательное расширение функции 1n(1 + q;).Официальный представитель Тейлора Запишите косинусный член rn (x) в Формуле Лагранжа. Я заметила.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Действительные аналитические функции.	Множества. Операции над множествами.
Разложение функций в степенные ряды.	Функции.