Оглавление:
Сходимость функциональных последовательностей и рядов
Сходимость функциональных последовательностей и рядов. В этом разделе мы рассмотрим функции со сложными значениями, в общих чертах последовательность сообщений и ряды с членами, которые являются последовательностями. Ранг соответственно Пусть E-множество определенных элементов, особенно множество точек на прямой, плоскость a-мерного пространства или элемент общей произвольной природы, и (36.1) последовательность функций, определенных в множестве E и обычно сложных.
Для каждого фиксированного значения аргумента x эти последовательности и ряды явно являются числовыми последовательностями, и ряды уже учитываются. Людмила Фирмаль
- Определение 1.Последовательность (36.1) это все x> E и все η= 1, 2,… (В этом случае последовательность (36.1) также называется однородной границей.） Определение 2.Последовательность (36.1) это все xeE и все η= 1, 2,…в случае неравенства она называется уменьшением (увеличением) в коллективе если. (Все x> E и все η= 1, 2 соответственно… Если ！НН(х)^ 1П(х). Это определение четко гласит, что функции fn (x), i = 1, 2,…это означает, что она принимает фактическое значение. Определение 3.Если числовая последовательность {/«(x0)} сходится, то последовательность (36.1) называется сходящейся в точке* ’ 1×0 eE.
Если последовательность (30.1) сходится в каждой точке множества E, то она называется сходящейся в множестве E. ХН) Н(Х)= Ф(Х), Если х> е, они (36.1) функция [(x), x = e сходится. Аналогичное определение дано и для ряда (36.2).Определение 3’.Ряд (36.2) называется точкой сходимости x0 e E, если числовой ряд сходится^ un (x0). Если ряд (36.2) сходится в каждой точке этого множества, то он называется сходящимся в множестве E. Определение 4.Ряд (35.2) называется полной сходимостью В множестве E, если ряд сходится к множеству E, как в случае нескольких рядов, сумма Она называется N-й частичной суммой (36.2) ряда. Предел частичной суммы ряда, сходящегося к множеству E (36.2), равен、 * Вызовите элемент set E-point. Он называется N-й остаток серии (36.2).
- Остальные ряды сходятся к E только в том случае, если сам ряд сходится к E(36.2). в этом случае, если сумма оставшихся рядов обозначается rn (x)、 Согласно определению, как и в случае числового ряда, каждый функциональный ряд имеет последовательность пар { » , (x)} и Кроме того, каждая функциональная последовательность(36.1) имеет ряд (36.2), который является последовательностью подпоследовательности. Члены этого ряда определяются однозначно. Это обстоятельство позволяет перефразировать теорему, доказанную в функциональном ряду, в соответствующую теорему функциональной последовательности и наоборот. Используйте эту ситуацию несколько раз. Образцы. 1.Дайте серию g-комплексное число. Исследуйте сходимость ряда с его абсолютной сходимостью, т. е. N-й член un -> -.
Подпись д’Аламбера.、 Итак, поскольку комплексное число (36.4) является абсолютным, любое комплексное число r или просто сходится через комплексную плоскость, как обычно говорят. 2.Изучение сходимости рядов x-действительное число. Эта серия сходится для всех x. In дело в том, что для χΦ0 существует сумма геометрических рядов со знаменателем. В этом случае легко вычисляется сумма рядов (36.5) 5 (x). если x = 0, то все члены ряда (36.5) равны нулю, поэтому они, очевидно, сходятся и становятся 5(0)= 0. Подобный этому График функции$(x) показан на рисунке. 136. Как видим, все члены ряда (36.5) являются непрерывными функциями, а их сумма-дискретной функцией, несмотря на то, что ряд сходится во всех точках вещественного axis.
Рассмотренный ряд показывает, как в маргинальном процессе (геометрической прогрессии) функция гораздо более сложной природы-разрывная функция-возникает из простой непрерывной функции. Людмила Фирмаль
- As в результате для сходящегося ряда (36.2) терм Среди них непрерывные вещественные функции u (x), а их сумма 5 (x), вообще говоря, не непрерывна. Следовательно, предел суммы бесконечного числа членов не обязательно равен сумме этих пределов. Ниже мы находим условия, при которых мы можем гарантировать непрерывность суммы сходящихся рядов непрерывных функций. Упражнение. Мы исследуем сходимость и абсолютную сходимость ряда.
Смотрите также:
