Оглавление:
Преобразование Абеля. Признаки сходимости рядов Дирихле и Абеля
Преобразование Абеля. Признаки сходимости рядов Дирихле и Абеля. Этот раздел доказывает достаточные признаки сходимости численного series. It также подходит для серии со сложными терминами. Сначала рассмотрим перевод 5 = Й1&] 1 суммы в виде р. Где bc, r = 1, 2,…, n-комплексное число. Поставить ВХ-ВХ,= ьх-\ Б% 、 И затем… Если мы откроем скобки и сгруппируем термины по-новому, то уравнение 5 =(ax-a%) Bx-T(J2-a’Z) B * T■ * (un-x-an) Bn-x-a VP, таким образом, мы, наконец, имеем. Эта форма преобразования суммы (35.78) называется преобразованием Абеля*); в некотором смысле она является аналогом интегрирования по частям. Это сходство особенно заметно, когда Формула (35.79) описывается следующим образом: Используйте преобразование Абеля, чтобы доказать лемму. Лемма 4 (неравенство Абеля).
Необходимо отметить тот факт, что в неравенстве Абеля оценка рассматриваемой суммы дается через первый и последний члены и не зависит от числа членов этой суммы. Людмила Фирмаль
- Если На самом деле, согласно условиям (35.80) или (37.81), все различия в Формуле (35.79) a,-a; +1 имеют один и тот же знак, поэтому по формуле (35.79) и условию (35.82)、 Теорема 18 (критерий Дирихле).Давайте дадим ему серию. Последовательность\ ap) стремится быть монотонно нулевой, а последовательность частичных сумм{Bn} Если он ограничен, то ряд (35.78)будет сходиться. Доказательство. Поскольку последовательность{Bn}ограничена, существует такое число B 0, что оно все\ Bn \ B n = 1, 2, любое n-2, 3,…И любой давайте дадим e. 0.Из условия Fri an = 0、 N Неравенство для всех nnE.
- Затем примените неравенство Абеля (35.83) к сумме 2 nDh. Здесь η>η и учитывая неравенства(35.85) и(35.85), это выглядит так: Отсюда, согласно критериям Коши, ряд (35.84) будет сходиться. Ноль В качестве примера рассмотрим серию Во-первых, если af2shn, m = 0,±1,±2、 2 8111 так как ccc равен нулю, то сумма этих n равна Для нуля он ограничен. Поэтому все Сумма ограничена. С другой стороны, последовательность (1 / n}монотонно убывает и стремится к нулю, поэтому по критерию Дирихле ряд (35.87) сходится к любому a. Обратите внимание, что символ Лейбница (см.§ 35.9) следует за символом Дирихле. Действительно, в случае серии Вот, » Заα., + 1 0, bn = =(-1) положить в n, то сумма + 1+..• * +&/»n-1, 2,…. равно нулю или единице, следовательно Из-за ограничений Стандарт Дирихле позволяет ряду (35.88) сходиться.
Из неравенства Абеля можно получить еще один признак сходимости ряда. Людмила Фирмаль
- Теорема 19 (критерий Абеля).Последовательность{АП} Монотонный и ограниченный, и ряд^ bn, 6n = C, n = 1, 2,…、 Если ряды (35.78) также сходятся. Доказательство. Из-за ограниченности последовательности существует такое число A4. 0, Все η= 1, 2,…Неравенство| а» | ^ м Здесь мы даем e 0.Серия конвергенция от 2 млрд УО Каждый номер Р ЗЗ-количество ПГ существует Итак, для каждого числа и каждого целого числа p ^ = 0、 Согласно Лемме 4, неравенство По критерию Коши сходимости рядов это ряд (35.84) сходятся. Да. Образцы. Исследуется сходимость рядов Серии Богатый. Последовательность| [pa стремится монотонно к нулю、 Последовательность частичных сумм ряда 5 * n па ограничена (См. предыдущий пример).Последовательность-cos^, n = 2. 3, … является монотонным, поэтому по критерию Абеля ряд (35.89) сходится для всех a.
Смотрите также:
