Оглавление:
Сходящиеся ряды, не сходящиеся абсолютно. Теорема Римана
Сходящиеся ряды, не сходящиеся абсолютно. Теорема Римана. Если ряды сходятся, но не являются абсолютными, то уже невозможно получить ряд, сходящийся к той же сумме, переставляя его члены в другом порядке, как показано ниже. Последний парадокс в пункте 35.9 объясняется именно этим обстоятельством. Результирующий ряд (35.45) отличается от приведенной сходимости порядком членов, но он не абсолютен, а является рядом(35.42).Поэтому нельзя утверждать, что его общая сумма также равна 5. Поэтому сумма рядов зависит от порядка следования членов. То есть коммутативный закон сложения не применим к абсолютному неконвергентному ряду. Если члены этого ряда добавляются сгруппированными каким-либо образом, не нарушая порядок, то подпоследовательность результирующего ряда становится подпоследовательностью исходного ряда.
Поэтому, когда исходный ряд сходится, вновь приобретенный ряд также сходится, и сумма обоих рядов одинакова. Людмила Фирмаль
- Однако бывают случаи, когда 2-я строка сходится, когда некоторые строки расходятся. Например, строка 1-1 + 1-1 + 1-1 + извините… также можно использовать функцию объединения ее членов в пары. （1-1）+（1-1）+（1-1）+ …Получаем сходящийся ряд. Поэтому в общих чертах ассоциативный закон сложения также не применим к ряду. Рассмотрим характеристики ряда действительных членов, пусть и в сходимости, но не абсолютной. Давайте дадим ему серию. у ’ {, а? и… И.,^..Неотрицательный член равен 0, и-u, ё,…И-и»…Негативный термин. ip 0.It берется в том же порядке, что и стоящий в ряд(35.56).Рассмотрим линию.
Заметим, что если ряд (35.63) содержит только конечное число членов, отличных от нуля, или если по определению все члены не равны нулю, то ряд (35.64) состоит только из конечного числа членов, и тогда все члены исходного ряда начинаются с одного и того же числа чисел (35.62), то выход сходимости является абсолютным, поскольку он имеет то же самое, что и эквивалент Лемма 3.Если ряд (35.62) сходится, но не является абсолютным, то и ряд (35.63), и ряд (35.64) расходятся. Доказательство. Сходятся ряды (35.62).То есть существует конечный предел. Где 8n-его частичная сумма, n = 1, 2,…M = 1, 2,…Выражается в частичной сумме порядка m ряда (35.63) и 5*, k = 1, 2,… Частичная сумма порядка рядов k (35.64).Для удобства установите 5o = $ o = 0.Тогда для любого целого числа n существуют неотрицательные целые числа m-m (n) и k = k (n).
- Кроме того, поскольку ряд (35.62) никогда не сходится, и ряд (35.63), и ряд (35.64) содержат бесконечно много ненулевых членов. Здесь частичная сумма Порядка n ряда равна 8n И тогда, очевидно, Этот ряд (35.62) абсолютно не сходится, то есть потому, что ряд (35.68) расходится、 Поскольку оба члена в правой части уравнения (35.69) не отрицательны, то из (35.70) и (35.67), по крайней мере, один из этих членов стремится к бесконечности в случае η-> sy. Если мы вернемся к равенству (35.66) здесь, есть конечный предел на левой стороне этого равенства (см. (35.65)), и 1 из общего числа становится бесконечным, таким как n -°°°.Это возможно только при условии, что 2-я из рассматриваемых сумм стремится быть бесконечной, как n-» oo. Таким образом, обе серии (35.63) и (35.64) будут ветвиться. [D теорема 17 (Риман).
Доказательство. Снова рассмотрим ряды (35.63) и (35.64).Согласно Лемме、 Для ясности предположим, что og 0.выберите ПХ、 Кроме того, если число nx-1 не удовлетворяет этому условию, выберите nx так, чтобы неравенство выполнялось Существование числа n, которому удовлетворяет условие (35.73), следует за условием (35.71).для того чтобы условие (35.74) было выполнено в этом случае, необходимо принять минимальное значение этих чисел ph. Затем выберите первый член из ряда (35.64) n2, а затем Ui 4 -… 4-и-Н、Кроме того, если число n2 = 1 не удовлетворяет этому условию, выберите n2 так, чтобы неравенство выполнялось Наличие такого числа n2, как и наличие числа n2, доказывается на основании (35.72).
Если ряд сходится, но не является абсолютным, то независимо от того, какое число A, члены этого ряда могут быть переставлены так, что сумма результирующего ряда равна A. Людмила Фирмаль
- Опять же, вы можете выбрать последовательность из набора терминов до определенного числа (35.63), чтобы создать неравенство И (для»s»r + 1)-неравенства Если мы продолжим этот процесс дальше, то увидим ряд и? Вы получите: + • * + » Г—…О последовательности частичной суммы Строительство ведет к неравенству Кроме того, отклонение каждой из указанных сумм от числа A$ pL + pA + 1 не превышает ее последнего члена. Где абсолютное значение термина Количество (35.75) тч, и начала свою линию(35.75)является индекс » + » или「 Из-за сходимости исходных рядов (35.62)、 И k * потому что число членов η » стремится к oo、 Серия (35.62) также Таким образом, из(35.76) Если вы получаете частичную сумму 8N рядов (35.75), то путем построения этого ряда.
Смотрите также:
