Оглавление:
Неравенства Гёльдера и Минковского для конечных и бесконечных сумм
Неравенства Гёльдера и Минковского для конечных и бесконечных сумм. Заданное число (вообще говоря, комплексное число) равно±x,…, xn, yn yn, 1 p + oo, а число g определяется уравнением y + y = 1 (см. 20.8 и 28.4*).Тогда неравенство [Н \ 1 / р / н!в 21 ^Н2II 21ИП (35-3°） C = 1 4 = 1/4 = 1 / (Неравенство Гельдера) и /»Г / р / Я Г / Р!»я \ 1 / п (^ 21 ^ + ^1р/ / = ^ 2 1 * 1Р)+(21Р.1р] (35.31） (Неравенство Минковского). (см.§ 28.4*). вводится обозначение для краткости 1 * / p» (^ I * 1P) 1 / P. S,-(2 IU1 [?’)./ 7(35.32).
Их аттестация осуществляется по той же схеме, что и в случае соответствующего интегрального неравенства. Людмила Фирмаль
- Применить неравенство (20.53) a&==^ -+ -, a ^ 0, b ^ 0 Меня У1 Я Вы будете иметь K-1 I Y » 11X11 I I Y! 1 ^ И* 1П 1г / 1? «\PIx1pI у \ ДХ (35.32) и условно, если суммировать неравенства 1〜n в I, то получится ~ |—= 1. 1 = 1 Откуда 2 1 * # * 1!* !* !№ 1 = 1 Это докажет неравенство (35.30). Неравенство Минковского (35.31) является результатом неравенства Гельдера (35.30).Из очевидных отношений 2 1 ^ + ^ |Р21м|| 、+ »/ \ −1+ 2 \ У1 \ \ Х1 + У1 \ П-1 ！= 1 1 = 1 1 = 1 § 35.Числовой ряд 566. 2 I X1 + Y ’ 1 \ P ^(2 I X’ м / р \ Я {п-1） + 1 = 1 4 = 1 Если вы примените неравенство Гельдера к каждому элементу справа, вы получите его. 1/7 / я 1/7 +(21 ^ ч 2 \ Х1 + yn9 карбида {П-1}） ч = 1 / \ / = 1.
- Если левая сторона равна нулю, то неравенство Минковского явно верно. Если он не равен нулю, уменьшите / п /? Один Обе стороны по коэффициенту (2 IM + * /; \ p), и его+ y = 1,^(p-1)= p, получаем неравенство (35.31). СОСО Для любых 2 строк 2 xn 2 y*, аналогично П = 1 я = 1 Неравенство Co / совместно \ 1 / р 1 п \ 1/4 2!Ад «M2 1 *» 1p 21 ^ n•(35.33） я = 1 \ я = 1 / \ л = 1 / / со) 1 / с / СО \ 1 / р / со\, 1 / п (2 \ хп + УП \ П)^(21 * » 1П)+(2 \ уя \ п)•(35.34).
Фактически, для всех частных сумм одного и того же порядка данного ряда справедливы неравенства между Гельдером и Минковским. Людмила Фирмаль
- Переход к их пределам в виде η °°приводит к неравенствам(35.33)и(35.34). И И Два \ п я 2 \ уп \ ч Из доказанных неравенств, в частности、 И Если он сходится, то ряд 2 \xnV \ сходится и ряд сходится я = 1 И 2 1 * » 1П 2 \ п \ п * n = 1 n = I И Тогда ряды 2 \ Xn + Yn / p сходятся. Н = 1
Смотрите также:
