Апории Зенона в свете математики XIX

Оглавление:

Предмет: Философия

Тип работы: Реферат

У вас нет времени или вам не удаётся понять эту тему? Напишите мне в whatsapp, согласуем сроки и я вам помогу!

На странице рефераты по философии вы найдете много готовых тем для рефератов по предмету «Философия».

Дополнительные готовые рефераты на темы:

Введение

Двадцать четыре столетия назад Зенон Элейский, первый древнегреческий философ, указывал на невозможность логически непротиворечивого осмысления движения тел, хотя и не сомневался в чувственно удостоверяемой реальности последнего. Зеноном сформулирован ряд апорий, связанных с проблемой движения. Но не меньший интерес в гносеологическом, логическом и специально-научном плане представляют и апории, с которыми столкнулся знаменитый элеец при анализе проблемы «многого в бытии», проблемы получения протяженного отрезка при аддитивном синтезе так называемых непротяженных точек(метрическая апория), и другие. «Трудности, нашедшие отражение в апориях Зенона, — подчеркивала С. Яновская, — и в наши дни нельзя считать преодоленными». Поэтому апории Зенона не перестают интересовать и математиков, и физиков, и философов, и ученых некоторых других направлений. Интерес к апориям в настоящее время связан с проблемами научного познания пространства, времени, движения и строения систем в самом широком смысле, а также с проблемами «начал» науки в смысле истории возникновения исходных понятий о природе(«тело», «точка», «место», «мера», «число», «множество», «конечное», «бесконечное» и другие) и в плане дискуссий, в ходе которых уточнялся смысл этих понятий и которые переросли в итоге в проблему основания математики, вообще начал точного естествознания.

Зенон Элейский

Зенон, один известнейших древнегреческих философов, родился около 490 года до н.э. в Элее, в связи с чем и стал в последствии называться Элейским. Историки отмечают его приверженность к учениям Парменида и пифагорейцев. Это есть большинство достоверных фактов из его биографии, которые подтверждаются не только учеными нашего времени, но и такими уважаемыми людьми, как Платон в своем «Пармениде».

Будучи представителем Элейской школы философии, Зенон рассуждал о проблемах истинного и мнимого бытия, под коими он подразумевал соответственно мышление и чувства. Сам термин «бытие» был введен в употребление как раз учителем Зенона Парменидом, и обладал такими свойствами как: неподвижность, однородность и единство. Парменид сравнивал бытие с шаром, наполненным каким-либо веществом — завершенным и целостным. И переосмыслив идеи своего учителя, Зенон стал выдвигать свои рассуждения о структуре бытия и утверждать, что в природе не существует движения и множественности, что доказывал своими знаменитыми апориями.

«Из 45 апорий, выдвинутых Зеноном, до нас дошло 9. Классическими являются пять апорий, в которых Зенон анализирует понятия множества и движения» Гайденко П.П., Эволюция понятия науки: становление и развитие первых научных программ, М., «Урсс», 2010 г., с. 65-67.. Апории Зенона не нашли удовлетворительного разрешения и поныне. Причем современные издания, в отличие от советских, с этим соглашаются: «Апории теперь признаются подлинными парадоксами, связанными, в частности, с описанием движения». А.А. Ивин, А.Л. Никифоров «Словарь по логике», М.: «Владос» , 1997, стр. 22. Все так называемые «разрешения» апорий представляют собой логическую ошибку ignorantia elenchi, состоящую в том, что доказывается не тот тезис, который требуется доказать. Исследование парадоксов Зенона начать со знакомства с историей Элейской школы и интерпретации аргументов Зенона, что сразу ведет нас в многообразие связанных с ними проблем и позволит найти собственный путь к разрешению его загадок. Для этого требуется определить направляющие точки зрения, которые основаны на фактах или более убедительных предположениях.

Современная интерпретация зеноновских апорий сводится к двум диаметрально противоположным вещам: либо к доказательству несостоятельности самого Зенона как формального логика, либо к установлению непригодности современного математического анализа, а в частности интегральной системы исчисления, к реальной жизни, к человеческому бытию.

Целью данной работы является рассмотрение этих самых апорий, выявление или невыявление в них нарушений правил формальной логики и сопоставление их с современными жизненными воззрениями ученых.

Апории Зенона

Исследование парадоксов Зенона лучше всего начать со знакомства с истории интерпретации его аргументов, что сразу ведет нас в многообразие связанных с ними проблем и позволит найти собственный путь к разрешению загадок Зенона. Для этого требуется определить направляющие точки зрения, которые основаны на фактах или более убедительных предположениях.

Дошедшие до нас апории Зенона можно подразделить на две группы: в одних «опровергается» существование «многого», причем «многое» понимается как актуально существующая, то есть заданная всем набором своих элементов, некоторая полная, завершенная совокупность; в других вскрываются противоречия, связанные с отображением движения в логике понятий. Однако и те, и другие тесно связаны между собой.

К апориям первой группы относятся те, которые призваны опровергнуть признание бытия «многого». Суть их в следующем: если существующих вещей много, то их должно быть столь много, сколько их есть, — не больше и не меньше. А если их столь много, сколько их есть, то их число ограничено. Но, с другой стороны, если существующих вещей много, то их число неограниченно, ибо всегда существуют другие вещи между существующими и снова другие между теми и так далее.

Оставаясь на позициях конструктивного направления в понимании множеств, попытаемся с помощью средств символической логики представить в явном виде логическую противоречивость апории, прикрываемую подменой мысли о подлинной бесконечности мыслью о фиктивной бесконечности количества элементов космического универсального множества, ошибочно выдаваемого за актуально бесконечное множество.

Перед нами логически ложная импликация, опираясь на которую, Зенон сделал вывод вообще о немыслимости существования многого в бытии. Однако ошибка Зенона не в том, что он возмущался допущением, согласно которому «многое» одновременно конечно и бесконечно по числу его элементов, а лишь в том, что он заявил о немыслимости существования какого бы то ни было «многого», тогда как следовало отрицать только такое «многое», которое в действительности не существует и даже невозможно, то есть актуальное бесконечное многое или потенциально бесконечное многое – подлинная реальность.

Но как только мы осознали этот факт, не остается иного выхода, кроме как отвергнуть те предпосылки, из которых логически необходимо вытекает противоречащий им вывод о «несуществовании многого в бытии». Этого шага Зенон не сделал, чему мы можем, казалось бы, удивляться; однако и сейчас еще не утихают споры вокруг восходящей к Зенону проблемы актуально бесконечных множеств. Оставаясь при мнении, что если существует многое в бытии, то оно одновременно и конечно, и бесконечно, и не видя логических путей и средств опровержения этого мнения, Зенон не мог интуитивно согласиться с таким мнением и поэтому сделал субъективно вполне последовательный шаг – отказался от признания многого в бытии, не поверил в его существование.

К сожалению, до сего времени еще недостаточно четко осознается принципиальный характер не вполне понятой и Зеноном дилеммы: или признать конечность реально существующего многого в бытии, или же в противном случае оно реально не существует, ибо в принципе невозможно логически последовательно получить вывод о существовании многого при признании не только конечности, но и актуальной бесконечности его. В этом убеждает нас и многовековое существование все еще неразрешимой проблемы апорий, и использование средств современной логики; в противном случае надо открыто выразить недоверие последней.

«Дихотомия», «Ахиллес и черепаха», «Ристалище»

«Дихотомия»

Один из известнейших доводов Зенона об отсутствии движения гласит: «В конечный промежуток времени нельзя пройти бесконечное число отрезков, что означает невозможность начала самого движения».

Суть данного высказывания состоит в следующем. Если существует некий отрезок А-В, то чтобы попасть из точки А в точку В, нужно сначала добраться до точки С, которая будет серединой отрезка А-В. А чтобы достичь точки С, необходимо сперва попасть в точку D, являющуюся серединой А-С, и так будет продолжаться бесконечно. Из этого следует, что движение не начнется никогда, так как никогда не будет найден конечный пункт даже бесконечно малого смещения.

К данной апории в своих работах обращались многие философы, в том числе Аристотель, Гегель и Ленин, причем они не поддерживали точку зрения Зенона, а наоборот, приводили аргументы в пользу неверности утверждения. Так, Аристотель писал, что «…пространство и время бесконечно делимы в возможности, но не бесконечно разделены в действительности». Гегель, развивая мысль Аристотеля, утверждал, что делимость есть не необходимость, а лишь возможность деления.

«Ахиллес и черепаха»

На принципах, изложенных в «Дихотомии», базируется и еще одна апория, в которой Зенон рассказывает о том, что, чтобы Ахиллес догнал черепаху, необходимо, чтобы исчезло разделяющее их расстояние, а это невозможно.

Философ объясняет свою мысль тем, что если черепаха и Ахиллес начинают двигаться в одном направлении в одну и ту же секунду, но черепаха находится на каком-то расстоянии впереди, то пока Ахиллес будет преодолевать этот путь, черепаха продвинется на сколько-нибудь вперед, и дистанция будет бесконечно сокращаться, но в итоге между ними всегда будет оставаться не равное нулю расстояние.

Записав уравнения движений Ахиллеса и черепахи, можно выяснить, что в момент их предполагаемой встречи они должны пройти равное количество отрезков пути, а проходят разное: человек преодолевает один «лишний» отрезок. Это, с одной стороны, показывает формальную некорректность зеноновских утверждений, но, при этом, дает современным математикам и философам огромный простор для действий по доказательству или опровержению того, что часть равна целому.

Д. Гильберт и П. Бернайс замечают: «Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться» Д. Гильберт, П. Бернайс «Основания математики. Теория доказательств», 1982.

Данная апория Зенона не переставала интересовать математиков и философов. Однако вплоть до наших дней существуют самые разнообразные мнения: от совершенно-пренебрежительного отношения до признания того, что она относятся к наиболее важным и трудным вопросам обоснования математики и физики.

Так, известному французскому математику Полю Леви парадокс об Ахиллесе и черепахе представляется очевидной нелепостью.

«Ристалище»

Апория, также основанная на свойствах неделимости пространства и времени. Она заключается в том, что неделимый момент времени может стать делимым относительно себя же. Зенон, чтобы объяснить это, приводил в пример три параллельно расположенных множества из четырех точек. Первое (А) не двигалось, второе (В) двигалось вправо, а третье (С) влево. Получалось, что за одну единицу времени множество В преодолевало расстояние лишь в две точки из множества А, но, в то же время, во все четыре точки множества С. Это означало, что данная единица времени не является неделимой, или, если принять время за константу, только делимым является пространство, в котором движется материя. Также это утверждение предполагало не только некое искривление пространства, но и вывод Зенона о том, что половина представляет собой целое.

Ответом на данную апорию можно признать специальную теорию относительности Эйнштейна, в которой утверждается неабсолютность движения, времени и пространства для тел, находящихся в разных системах отсчета.

«Стрела», апории, опровергающие существование «многого», апория «Стадий» («Стадион»)

«Стрела»

Этой своей апорией Зенон снова отрицает возможность движения. По его мнению, стрела, летящая с определенной скоростью, в каждый неделимый момент времени занимает место, равное своей собственной длине, а значит, покоится. А временной отрезок как раз есть сумма этих неделимых моментов. Эта апория направлена против суждения о том, что непрерывная величина есть сумма бесконечного числа неделимых частиц.

Здесь философ не разделяет онтологическое и механическое понятие о движении, и потому приходит к такому выводу. Безусловно, с точки зрения той же специальной теории относительности, в системе отсчета, где находится только стрела и ничего больше, она покоится — относительно себя. Поэтому называть данное высказывание Зенона безосновательным нельзя. Но это показывает, что апории являются некоторого рода крайностями в понимании структуры материи.

Апории, опровергающие существование «многого»

К этим апориям относятся такие утверждения, как «Множественность», «Медимн зерна», «Мера». Они все базируются на том, что «много» — это с одной стороны бесконечное поле для заполнения, а с другой — ограниченное пространство, потому что «больше, чем много» не может быть. Исходя из этого, Зенон отрицал существования «многого» вообще, к тому же разделяя все на бесконечно малые отрезки.

Сюда же можно отнести известную зеноновскую апорию «О месте», которая повествует о том, что если все сущее находится на каком-то одном месте, то это место тоже должно где-то находиться, и так до бесконечности.

Апория «Стадий» («Стадион»)

Пусть по стадиону движутся по параллельным прямым равные массы с равной скоростью, но в противоположных направлениях. Пусть ряд А1, А2, А3, А4 означает неподвижные массы. Ряд В1, В2, В3, В4 означает массы, движущиеся вправо, а ряд Г1, Г2, Г3, Г4 означает массы, движущиеся влево.

Будем теперь рассматривать массы Аi, Вi, Гi , как неделимые.

В неделимый момент времени Вi и Гi проходят неделимую часть пространства. Действительно, если бы в неделимый момент времени некоторое тело проходило более одной неделимой части пространства, то неделимый момент времени был бы делим, если же меньше, то можно было бы разделить неделимую часть пространства. Рассмотрим теперь движение неделимых Вi и Гi друг относительно друга: за два неделимых момента времени В4 пройдет две неделимые части Аi и одновременно отсчитает четыре неделимых части Гi , то есть неделимый момент окажется делимым.

Этой апории можно придать и несколько другую форму. За одно и то же время t точка В4 проходит половину пути отрезка А1А4 и целый отрезок Г1Г4 . Но каждому неделимому моменту времени отвечает неделимая часть пространства, проходимая за это время. Тогда в некотором отрезке ? и 2? содержится «одинаковое» число точек, «одинаковое» в том смысле, что между точками обоих отрезков можно установить взаимно однозначное соответствие. Этим впервые было установлено такое соответствие между точками отрезков различной длины. Если считать, что мера отрезка получается как сумма мер неделимых, то вывод является парадоксальным. Логическая ошибка в основе апории «Стадий» скрывается за неявно выраженным нарушением логических законов построения мыслей.

Заключение

Итак, разобрав внешне, казалось бы, нелогичные в первом приближении утверждения Зенона Элейского, можно сделать вывод о том, что его апории явились одной из величайших работ в истории человечества, потому что на протяжении уже почти двадцати пяти веков они подвергаются критике со стороны науки и сами ставят верность науки под угрозу. Также, апории дали толчок к появлению таких философских направлений, как античный атомизм; послужили катализатором для развития математического анализа и теории множеств.

Апориям посвящали стихи А.С. Пушкин и Поль Валери, их упоминал в «Войне и мире» Л.Н. Толстой, ими апеллирует Х.Л. Борхес и многие другие деятели искусства, рассказывая и бесконечности, целостности и неделимости.

Одно из самых известных изречений Зенона: «Можно ли мыслить движение, если допускается разделение пространства?» говорит о том, что философ не просто размышлял над этой проблемой, он искренне верил в нее, хотя и известно, что движения как такового он не отрицал.

Безусловно, вклад Зенона в развитие человеческой мысли велик, и это может проиллюстрировать уже даже тот факт, что созданные до нашей эры утверждения не могут быть окончательно подтверждены или опровергнуты современными математиками с намного более развитыми технологиями счета и кругозором.

Список использованной литературы

Л.А. Халфин «Квантовый эффект Зенона» — Успехи физических наук, 1990, том 160, выпуск 10
В.Я. Комарова «Учение Зенона Элейского» — Л., 1988
Д. Гильберт, П. Бернайс «Основания математики. Теория доказательств», 1982
Г. Вейль «О философии математики» — М.-Л., 1934
Гайденко П. П. «Эволюция понятия науки» — М.: Наука, 1980
Манеев А. К. «Философский анализ зеноновских апорий» — Минск, 1972
П.В. Полуян «Нестандартный анализ неклассического движения» — У., 2002
З. Силагадзе «Zeno meets modern science», 2005
Д.Я. Строик, Краткий очерк истории математики, М., «Наука», 1964г., с.53.
Гайденко П.П., Эволюция понятия науки: становление и развитие первых научных программ, М., «Урсс», 2010 г., с. 65-67.