Признак сравнения для рядов с неотрицательными членами. Метод выделения главной части члена ряда

Признак сравнения для рядов с неотрицательными членами. Метод выделения главной части члена ряда

Признак сравнения для рядов с неотрицательными членами. Метод выделения главной части члена ряда. Теперь обратимся к сравнительным символам серии. Теорема 6 (признак сравнения).Позвольте мне. un0, «» ОО,, = 1, 2,. ..(35.15)） И un = 0 (bn) * (35.16） Затем серия ОО 2°п я = 1(35.17） И тогда серия сходится. СО (35.18） Н-1 Когда ряд (35.18) расходится, то расходится и ряд (35.17). Proof. So что условие (35.16) выполнено. И следующий 0 существует к -\, 2 (35.19)） Когда ряд (35.17) сходится, его частичная сумма последовательности {«» » } ограничена в соответствии с Леммой 2.То есть существует следующая константа M 0: П 5″ = 2 х} К ^ М, N = 1, 2,…(35.20)） &= 1 Частичная сумма ряда(35.18).Затем по неравенствам (35.19) и (35.20) П П П о ^^и^ с ^ о ^ СЗ ^ см, N = 1, 2 к = 1 к = 1 *«В частности, g-Нет»; описание обозначения sn «O»см. В разделе 23.3. § 35.Числовой ряд 556.

Это, по своей форме, также очень напоминает соответствующий знак сходимости неправильного интеграла. Людмила Фирмаль

• Согласно Лемме 2, ограниченная сверху частичной суммой ряда (35.18) означает ее convergence. So, когда ряд (35.17) сходится, ряд (35.18) также сходится. Когда ряд (35.18) расходится, то расходится и ряд (35.17).Сходятся, потому что согласно доказанному, ряд (35.18)также сходится и противоречит условиям. C. Естественно. φφ0, η= 1, 2,…、 NGN и = к, (35.21） Л-00 И затем… 1) ряд (35.17) сходится, 0 = ^; + oo, то ряд (35.18) также сходится ’、 2) серия (35.17) будет ветвиться, и для 0 & 5ё+^®®, серия (35.18) также будет ветвиться. В частности, SN-nn (если un и op равны, см. раздел 23.3), то ряды (35.17) и (35.18) сходятся или расходятся одновременно. 0 n0、 K + 1, t-e’un (k + 1) op、 IP Иначе говоря М» = 0(Г»). Таким образом, полученное Утверждение 1 непосредственно вытекает из утверждения 1 теоремы. От выполнения следующих условий(35.21） если вы фиксируете k с 0&&;;;, N9 = n0 (& ’ ) существует, и если n> pa、 К’, или ОП °P K Иначе говоря ОП = 0 (ООН).

Таким образом, полученное утверждение 2 непосредственно вытекает из утверждения теоремы 2. Ноль Образцы. 1. допустим, ООН= -> -. И А потом:»=! 2 и начиная с серии n = 1 секунда -Я не уверен, сказал он. 。 Ви 81P2 па Для (и см. 35.1) серии Н-1 557. И 2.Ряд н = я Один 1 + Y = Дивергенция, n Для I _ Й 1 О TTUp ^ gGp ’ p = 1, 2’ Но… И Строка 2 Н-1 Как мы видели(см. Исследование серии(35.13）、 35.5.Символ, сравнивающий ряд с неотрицательным членом Он будет ветвиться. Эффективность использования сравнительных критериев для изучения сходимости рядов зависит, конечно, от»рядов сравнения», то есть от рядов, которые уже знают, сходиться или расходиться, и от рядов, которые могут быть использованы при изучении этого ряда сходимости. И Два Л северный’ » Если взять серию как «сравнительный ряд» (35.17) Н-1 Если мы уже знаем, где она сходится, то теорема 6 сразу же подразумевает справедливость следующей теоремы.

• Теорема 7. если un = 0, i = 1, 2 и un = 0 (^ -^ И 1, и серия И 2ia(35.22)） л = 1 Сходятся, но для^ = 0 (n») и a-го ’1, ряд (35.22) diverges. As в результате Pm paip = k、 П * * * * * 1) для 1 и 0 <°C + oo, ряд (35.22) сходится、 2) ac; 1 и 0 Syes; −1°C, серия (35.22) расходится. В частности, для unn—a ряд (35.22) сходится на 1 и расходится на E 1. Учитывая, что термин в серии n (35.22) использует выражение, представляющее функцию в n, и имеет смысл для всех фактических, больших, неотрицательных значений в переменной n, плюс»достаточно гладкая»функция в этой переменной, фактическое применение теоремы 7, обычно рекомендуется расширить термин un, используя формулу Тейлора 1 / n степеней. Основным элементом декомпозиции результата является И Форма 1 / n», то ряд^ и как ряд сравнения л = 1 Изменяя теорему 7, можно определить, сходится или расходится тот или иной ряд. § 35.Числовой ряд 558.

В каком-то смысле можно сказать, что метод изучения сходимости этого ряда является наиболее удобным и в то же время очень популярным. Людмила Фирмаль

• Образцы. Общий термин, который изучает сходимость ряда, определяемого следующей формулой: 1) M » = 1-ω§ -.Очевидно, un0.(См. Примечание В конце подраздела 13.3) ω§x= 1 + 0(x2), x-0, следовательно ««= 1[1 + 0（^）] = 0（^）、Л * ОО、 Тогда, по теореме 7, ряды с общим членом un сходятся. 2) un = 1N сок-1 -.Где unn 0.Напомним, что 1n (1 + x)= 0 (x). если вы применяете формулу Тейлора x-0, Косинус и логарифм последовательно, вы получаете: » «=1Н С05 4 = 1П [1 + 0 ОУ] = 0(г н °°Поэтому, по теореме 7, ряд с положительными членами И 2 (ip) сходится, и эта серия также сходится на нем Н-1 И Два»»• 3) и » = 1пОдинсеверный’ 3, 4, «» 5 = 0 и = −4Н П 1 Н = 1 + Н» ОО, следовательно.»=1П(1 + 18^) 1П(1-1б!)）= 218 + +（^）= ^ +о (1). И Поэтому unn ^—\не используется, так как ряд^ ^расходится、 Н-1 Ветвь и серия^ 1n.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Критерий Коши сходимости ряда.	Признаки Даламбера и Коши для рядов с неотрицательными членами.
Ряды с неотрицательными членами.	Интегральный признак сходимости рядов с неотрицательными членами.