Определение ряда и его сходимость

Определение ряда и его сходимость

Определение ряда и его сходимость. В этом разделе мы обобщим понятие суммы на некоторые случаи множества бесконечных членов и изучим характеристики такой обобщенной суммы. Многие из вопросов, описанных ниже, относятся не только к вещественным числам, но и к сложным. Поэтому, в отличие от предыдущих глав, эта глава проводит их рассмотрение в сложной области. Показывает строгое определение ряда и его суммы. Определение 1.Серия сложных Число, и» l = 1, 2, создать новый набор чисел 8n, n = 1, 2,…следующим образом. $ 1 = u 5-2 = те C-и％、 5з-у 4 «м2 + выход, 8н-У +» 2 4 •••Б ООН.

Аналитическое выражение, формально принимающее форму суммы, содержащей бесконечно много членов, называется бесконечным рядом или, короче говоря, рядом. Людмила Фирмаль

• Пара последовательностей { «„} и { “»» } называется числовым рядом (точнее, числовым рядом рядом с общим термином un).、 ^ 1 + » 2 + .. + ООН -\ -…(35.1） Или И 2″ » •(35.2） Н = 1 Элементы исходной последовательности\ un}называются членами ряда (35.1), элементы последовательности\ zn \являются частичными суммами этого ряда, un называется N-м членом ряда, конечная сумма 8n называется N-й дробной суммой n-1 ряда, а UN называется N-й дробной суммой n-1 ряда. 18 Кудрявцев Л. Д. В. 1§ 35.Числовой ряд Пятьсот сорок шесть Когда последовательность частичных сумм ряда (35.1) сходится, она называется последовательностью сходимости, а когда она расходится, она расходится.

Определение 2.Ряд, члены которого являются членами ряда, начинающегося с (n + 1) го (35.1) в том же порядке, что и исходный ряд, называется N-М остатком ряда (35.1).、 И Ай! И.*Или un + x un + 2. к =. C + I Определение 3.Если ряд (35.1) сходится, то предел 5 =Нш5Я П ►СО Эта сумма называется. В этом случае они пишут 5 = u + «2•••+ ня + • • *» или И 5 = С » И. (35.3） Поэтому используйте тот же символ Ноль ноль Оба с спецификациями серии (35.1) Н = 1 Значение суммы в случае сходимости. Если Hm 5n =ω, или Fri5n= + oo, или Hm5n=-oo、 n * s n + s n—►s Пишите соответственно 00, 00. 2 ООН = сы, 2 УН =\ со или ООН г = ОО. n-1 n = 1 n = 1.

• Итак, каждая строка представляет собой пару из 2 последовательностей, поэтому первая последовательность произвольно (последовательность членов ряда), а вторая состоит из первого члена (последовательность членов ряда) определенным образом. Однако ряд однозначно определяется каждым из них sequences. In факт, учитывая последовательность членов ряда, члены этой последовательности подпоследовательностей, согласно определению 1, представлены выражением+»2 +•••+ il, n = 1, 2,….Если задана последовательность {5n) подпоследовательности ряда, то терм равен Уравнение= = zi и= = 5π-5 _ _b n-2, 3、 В любой последовательности всегда можно найти ряд, который станет последовательностью подпоследовательности. 35.1.

Определение ряда и его сходимость Пятьсот сорок семь Фактически, вам дается набор комплексных чисел{rn}.Поставь ^ 1″ ^ 2 ^ 2 ^ 1″•••«。 。 。 И я думаю о цифрах. Н1 + я 4 «* * * 4» ООН +•••• Далее мы обсудим его частичную сумму. $ Н-П-Х + «2 +•••+ ООН = = +(Р2-ый)+(Р3-ый)+… +(рН-rn_x)= рН Это означает, что просмотр серии эквивалентен просмотру последовательности. Сформулированный вопрос с точки зрения ряда может быть перефразирован в сформулированный вопрос с точки зрения последовательности, и наоборот. Например, задача, рассматривающая сходимость ряда, эквивалентна задаче, рассматривающей сходимость последовательности. Там, где не указано обратное, это означает, что члены рассматриваемого ряда сложны.

Если вы заранее не знаете, содержит ли сумма конечное или бесконечное число членов, в обоих случаях может быть полезно назвать ее близкой, предполагая, что конечная сумма близка в указанном выше смысле. Людмила Фирмаль

• Если n-й остаток ряда (35.1) (см. Определение 2) сходится, то его сумма обозначается рН. И рН = 2(35.4） к-п -1 Для краткости просто назовите остальные серии. Сумма членов конечного числа 5я0= -} и2+ … +ип] Его можно считать серией путем добавления членов 1 = 2 -… = = 0. Для каждого le = n0 его частичная сумма равна 5 0, поэтому сумма результирующего ряда, очевидно, будет соответствовать указанной сумме. Обратите внимание на существенные характеристики сходящихся рядов. Теорема 1 (условия, необходимые для сходимости ряда).

Когда ряд (35.1) сходится、 С Золотом » =0.(35.5） п + со Доказательство. Если ряд (35.1) сходится, то его частичная сумма последовательностей sn, n=\, 2,…И 5n-bn = 2, 3,…18. * § 85.Числовой ряд Пятьсот сорок восемь Очевидно, что существует тот же предел, что и общее число 5 в этой серии. Следовательно, un = 5n-5n и u = 2, 3,…Пожалуйста, обратите внимание, что это не вариант. Пятница=пятница (sn-5n-1)=Пятница 5″-Пятница 5 ″ _x =0.Я не уверен. П * 00 л-ое л * л— » * с Теорема 1 может позволить вам установить дивергенцию рассматриваемого ряда. Если условие (35.5) не выполняется для конкретного ряда, он будет ветвиться. Пример 1. пусть X-комплексное число.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Исследование сходимости интегралов.	Свойства сходящихся рядов.
Асимптотическое поведение интегралов с переменными пределами интегрирования.	Критерий Коши сходимости ряда.