Вторая теорема о среднем значении для определенного интеграла

Вторая теорема о среднем значении для определенного интеграла

Вторая теорема о среднем значении для определенного интеграла. Лемма 1. Неотрицательное увеличение, [a, b]функция, которая может быть непрерывно дифференцируемой на протяжении интервала. И такая точка существует| e [a, b] , что b Г (х) НХ) топор =§(Б) 1} (х) ух. (30.10） Обо мне Доказательство. Подумайте о возможностях 480§ 30.Формула для замены и интегрирования переменных по частям. Функция p является интегрированием с переменной нижней границей интегрируемой (непрерывной) функции A, которая непрерывна в интервале[a, b], поэтому она достигает своих максимальных и минимальных значений.

Заметим, что теорема 2 справедлива даже при более слабых условиях. Людмила Фирмаль

• Если М = М ’ ПП(х), м = rnax П(Х), (30.12） [а, б] 1А. Б] И тогда, очевидно, м ^ п(х)^.М, хе [А, B]. (30.13） если dP (x)=-(x) dx и частично интегрируют интеграл по левой части уравнения(30.10)、 (х)!(Х) ух =\§(х) р(х) = §(х) п (х)^ + \ р (х)§ (х) ух = ля. Б = е(аур (а)+ $ ^(Х) е ’(х) ЛК(30.14） Но… (30.11) по P (b)= 0 §При возрастающей функции для каждого xe [a, b]существует a§ ’ (x)^ 0.Примените это неравенство, неравенство(30.13), и особенно обратите внимание, что неотрицательность [a, b]§означает§(a)^ 0, получите оценку. б, б. Е(А) П (А)+ \ Р (Х)§ (Х) Т ^ МД ©+ м $(х)ух = Но、 = я (а)+ м [§(Б) §{а)] = мг(б), б г(а) р (а)+ $ п(х)г(х) ух и тд (А)+ Т [Г(Б)-Д(а)] = тд(б). Но.

• Отсюда если g (b)= 0, то неотрицательная и возрастающая функция§означает§-(x)= 0 в [a, b]. в этом случае выражение (30.10) действителен для любого выбора e [th, b]. для g (b) 0、 б ^ е(х)!(х) т ^ м Но… Поскольку функция непрерыв непрерывна на интервале [a, b], любое значение между минимумом M и максимумом M ((30. \ 2) см.） 30.4.Интегралы векторных функций 481. Потому что точка I e [a,&] существует、 б П(1)= ^ У ^ ^ Е (Х) И. х)ух. Но… В зависимости от условия (30.11) это формула(30.10). 0 теорема 3 (bonnet*). Создание непрерывной и непрерывно дифференцируемой монотонной функции с интервалом[А, B].

Если функция§уменьшается с интервалом [a, b], то для доказательства теоремы достаточно применить формулу (30.15) к функции. Людмила Фирмаль

• Тогда точки I e [a, b \существуют. 5 е(х)/( * ) топор = ч (а) 5 /(А’) Г + Е (Б) 1Т(х)&х-(30 −15） И| Доказательство. Предположим, что сначала функция g увеличивается с интервалом[a, b], затем функция H (x)^§(x) §(a）、 ^ «СЬb-непрерывная дифференцируемая функция, которая увеличивается неотрицательно в интервале [A, D]. таким образом, согласно лемме, существует 5 e [a, b] и B $ г(х)/(х)ух = ч (б)^? (х) ых. Шесть Если вы подставите формулу для H (x) здесь, вы получите: б, б. ^ [Д(х) е(а)]! (x) & x = bΦ) ёФЯУ (x) LX * Один Откуда б, б. 5 (х)! (Х) ух = Р (А)\ [(х) ух −8(а)\ F(х)ух + б $ б + эф)1?(х) ух = 8(А) [(х) ух +§(б)(ф(х)ух、 Я. То есть мы получаем формулу (30.15). ^это явно увеличивается. Да.） restrictions. It достаточно требовать только интегрируемости функции^и монотонности§.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Замена переменной.	Интегралы от вектор-функций.
Интегрирование по частям.	Определение меры (площади) открытых множеств.