Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу. Существование первообразной у непрерывной функции

Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу. Существование первообразной у непрерывной функции

Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу. Существование первообразной у непрерывной функции. Теорема 2.Функция / интегрируется с интервалом[a, b]、 Если она непрерывна в точке x9 e [a, b], то функция P (x)=§/（/） Ферентируем и в точках x0 Доказательство. Показать его Где AP-P(x0 + Ax) P(x0), x0 \ Ax ^ [a, b]. для этого оценим AR g / h Коэффициент разности ^cI = 1, следовательно/(x0)= 〜| /(х0) и、 По непрерывности функции 0, b = b (e) присутствует в x0, и если | x-x01 b и x e [a, b], то(29.4） Выберите Ax| Dx / 8.Тогда для значения I на интервале, на котором выполняется Интеграл, из 11-x0 / ^ = = ^ / For | b и, таким образом, неравенства (29.3) и (29.4)、 Мы получаем Это можно сделать с помощью Fri ng = / (*o）Если точка x0 совпадает с 1 ребром отрезка [a, b], то под P ’(x0) следует понимать соответствующую одностороннюю производную функции P (x).Да.

Теперь можно решить проблему существования примитивов любой непрерывной функции. Людмила Фирмаль

• Теорема 3.Если функция интегрируема по отрезку и непрерывна в его внутренней точке, то отрезок имеет свою обратную производную. Функции, непрерывные на отрезке результате примитивов. Доказательство. Если функция / интегрируема на интервале[a, b]и непрерывна на интервале (a, b), то, согласно теоремам 1 и 2, ее обратная производная на интервале[a, b], например、 Фактически, во всех внутренних точках x отрезка[a, b], то есть в точке интервала (a, b), согласно теореме 2, Функция P дифференцируема, а при P ’(x)= p (x), в конце отрезка[a, b], согласно теореме 1, функция P непрерывна. Это означает, что [см. 22.1 определение 1] P примитивно по отношению к[a, b]. С.

Давайте покажем следственное правосудие. Если функция непрерывна через определенные промежутки времени, то согласно теореме 3 27.5 она интегрируема и, соответственно, удовлетворяет условиям доказанной теоремы. Я не уверен. Поэтому интегральная операция с переменной верхней границей, примененная к непрерывной функции, приводит к обратной дифференциальной функции. То есть дифференциальные и обратные операции. Это утверждение (называемое формулой дифференцирования конкретного интеграла относительно верхнего предела) является основой дифференциального и интегрального calculations. In в частности, антипроизводными функции являются Интервал [a, b]непрерывный, формат.

• Фактически, согласно доказанному, функция P (x)=§/ (() 61 Является примитивной функцией функции f (x), а любая другая обратная производная может отличаться только P (x) и константой (см.§ 22.1). Таким образом, между неопределенным и определенным интегралами устанавливается связь в следующем виде: Доказанная теорема показывает, что интегральная операция с верхним пределом переменной приводит к «улучшению» или «сглаживанию» свойств функции. Интегрируемые функции непрерывны, а непрерывные функции дифференциальны.

Например, если есть приизводная непрерывная функция, то она уже может быть разрывной функцией. Из выражения верхней производной (29.5)можно легко получить выражение нижней производной. Функция/может быть интегрирована с интервалом[a, b]. Тогда функция на этом интервале Кроме того, от личности У нас есть Если функция / непрерывна в точке x e [a, 6], то функция дифференци дифференцируема в этом отношении, как было доказано выше. Из выражения (29.6) следует, что в этом случае функция 0 (x) в точке x также дифференцируема、 Подобный этому Замечание.

Заметим, что производные операции в некотором смысле «ухудшают» свойства функции. Людмила Фирмаль

• Из формулы для дифференцирования интеграла от непрерывной функции по отношению к верхнему (нижнему) пределу интеграла следует, что все функции, смежные через регулярные промежутки времени (конечные или бесконечные), также имеют primitives. In факт, например, предположим, что функция / непрерывна на интервале (a, b).Выберите любой точке х0 Е (А, Б)、 Тогда равенство всех xe(a, b) P ’(x)= f (x) истинно. То есть p (x) является обратной производной функции f (x) на интервале (А, B). Упражнение. Предположим, что функция 1 (x) непрерывна и p (x) и φ (x) дифференцируемы в любом месте в K. докажите следующее обобщение формулы (29.5).

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского.	Формула Ньютона-Лейбница.
Непрерывность интеграла по верхнему пределу.	Замена переменной.