Наибольший общий делитель многочленов

Наибольший общий делитель многочленов

Наибольший общий делитель многочленов. Дайте многочлен P (x). Всех многочленов, кратных полинома P (х)） Где r (x) также является многочленом, называемым делителем многочлена P(x). Мы обнаружили, что многочлен P (x) можно описать как: Где а…, a, является действительным числом многочленов, и коэффициенты вида x2 + p, x + 7 /соответствуют по своей сути комплексным корням этого многочлена. Коэффициенты A, p, -, и 7. (/ = 1, 2,…, Д) является valid. It следует Действительно, нет никаких других факторов в виде Где A, p и 7 действительны и-4-7.Так как о в факторизации многочлена H (x) является многочленом H (x), то можно факторизовать как (23.15), так и в других многочленах, если факторизация выражения h (x) содержит фактор x-a вида x2 + px + y соответственно, то корень члена x = i также является многочленом p (x) 3-го члена X2 + таким образом, указанные факторы входят в разложение(23.12).

Общие делители 2 полиномов, которые делятся на общие делители этих полиномов, называются наибольшими делителями. Людмила Фирмаль

• Неравенство (23.14)также очевидно. Из той же формулы (23.11) следует, что кратность корней многочлена H (x) не может превышать кратности тех же корней многочлена P (x). Затем укажите 2 полинома P (x) и SCx).Все полиномы, которые являются делителями обоих полиномов P (x) и 多項式 (x), называются общими делителями. Многочлен P(.если (x) и 0(x) записываются в виде (23.12). Тогда все эти общие делители H (x) можно записать в виде (23.13). Для расширений (23.16) и расширений(23.17). Если индексы коэффициентов разложения (23.16) и (23.17) коэффициентов (23.18) равны соответственно/ / и th,//, то неравенство (23.14).

Для того чтобы полином (23.13) стал наибольшим общим коэффициентом полиномов P (x) и C (x), показатели K = 1, 2,…, r и p;, / = 1, 2 является необходимым и достаточным. и…, 5 является максимально возможным, то есть Фактически, при этих условиях полиномы P (x) являются полиномами P (x) и C?(X) будет общим делителем, и далее условие (23.19) будет разделено на любой многочлен вида (23.13), который будет удовлетворен. P (x) делится на общий делитель многочлена P (x). Из формы общих найденных делителей, особенно самых больших делителей, мы сначала видим, что самые большие делители 2 полиномов не уникальны. Однако 2 из 2 наибольших общих делителей данного многочлена могут отличаться только постоянным коэффициентом (константой B в Формуле (23.13) можно считать любое значение, отличное от нуля).

• Во-вторых, наибольший общий делитель 2 полиномов имеет степень, большую, чем любой из этих общих делителей, который не является наибольшим общим делителем. В качестве примера, который поможет вам ниже, найдите наибольший общий делитель многочлена P (x) и его производную P ’(x). Во-первых, если число a является действительным корнем кратности a многочлена P (x), то есть, a-корень кратности a-1 многочлена P ’(x). фактически дифференцирование (23.21）、 Точно так же Где r4—7 0, отсюда три члена x2 + px + 7 r4 и r2 (22 = 2!) Корни по своей сути сложны、 Действительно, дифференцировать(23.22). Из вышеизложенного следует, что если многочлен P (x) описывается в виде (23.12), то его производная P ’(x) может быть представлена в следующем виде: Где многочлен P5 (x) равен x-a、-、1 = 1、2、… даже в r, x2 + p / X-1-7 /но она не делима. / = 1, 2,…5, то есть, нет общего корня многочлена P (х).

Из формул(23.13)и(23.20) полином P (x) и его производная P ’(x) имеют наибольший общий делитель P (x) Приведенный выше метод получения наибольших общих делителей 2 полиномов P (x) и^(x) радикально и полностью решает проблему существования и формы наибольших общих делителей. difficulties. To используйте этот метод, вам нужно использовать данные многочлены P (x) и C? вам нужно знать факторизацию (x) формы (23.16) и (23.17). Однако 2 многочлена P (x) и? Существует еще один способ получить наибольший общий делитель (X), обычно называемый евклидовым алгоритмом. *Описать его. Чтобы быть ясным, степень многочлена P (x) больше или равна степени многочлена φ (x). Разделить P(x) на 2 (x).

Однако его практическое применение может вызвать серьезные проблемы. Людмила Фирмаль

• Получим некоторые многочлены 3 (x) и остаток Px (x) в виде частных. Его степень явно меньше степени многочлена 2 (x) (в противном случае можно продолжить процесс деления на ($(x))). Из этого выражения следует следующее: 1) Если многочлены P (x) и 2 (x) делятся на некоторые многочлены r (x), то многочлены Px (x) также делятся на этот многочлен. 2) Если многочлены 2 (x) и RL (x) делятся на один многочлен r (x), то многочлены P (x) также делятся на этот многочлен r (x).Это означает, что общие делители полиномов P (x) и 2 (x), в частности, их наибольшие общие делители, будут совпадать.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Некоторые понятия анализа в области комплексных чисел.	Разложение правильных рациональных дробей на элементарные.
Разложение многочленов на множители.	Интегрирование элементарных рациональных дробей.