Частные производные высших порядков

Частные производные высших порядков

Частные производные высших порядков. Дайте функцию f (x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если она действительно существует) иОн также называется частной производной первого порядка, и поскольку он является функцией независимых переменных x, y, он также может иметь частичную производную. Обозначается частными производными A ^ A / ~~или [xx, и 4y (w) Производные называются {xx, [xy, [yy, и частные производные 2-го порядка .Рассматривая эти частные производные, вы получаете все виды частных производных 3-го порядка. Определенная производная произвольного порядка также определяется для функции произвольного числа переменных. Определение 1.Порядок m-1, w = 1, 2.

Частные производные различных переменных называются смешанными частными производными. Людмила Фирмаль

• Частичная производная (для любой независимой переменной) частичной производной от*называется частичной производной степени m. Частичная производная, полученная производной только с 1 переменной, называется чистой частичной производной. число различных частных производных с увеличением m явно возрастает, но мы видим, что при определенных допущениях многие из них совпадают.То есть смешанные частные производные для одной и той же переменной не зависят от порядка дифференцирования. Точнее, выполняются следующие теоремы. Теорема 1.Функция [(x, y) определяется с частными производными[x, [y, [xy и[yy]) в окрестности точек (x0, y0) и предполагает, что xy и x y смежны в этой точке.И затем.

Доказательство.Предположим, что функции f (x, y) определены в окрестности 6 точек (xn, yo) вместе с производными f*,*,} y,\ xy и 1yx, и что Ax и Ay фиксированы так, что они Ax2 \ Yy2 b2.As перед (см. раздел 20.1) каждый из символов A*, a^, point (x0, y°)** ‘указывает на приращение функции/для Аргументов x, y соответственно. Введем обозначение И покажи это Конечно. Точно так же (21.3) и (21.4)、 Вставь его сейчас же. (21.3) может быть переписан в следующем формате Поскольку в окрестности рассматриваемых точек(x0, y0) имеются частные производные/ A, то функции φ (x) дифференцируемы на отрезках, которые заканчиваются в точках x0 и x0 + Ax.Из теоремы конечного приращения Лагранжа、 Но φ ‘(х)= Форекс(х, У0 + Ау) -!Х(х, е), таким образом.

• Примените ту же конечную инкрементную теорему снова, но относительно переменной y. Точно так же, если задать φ (y)= f (x0 + Ax, y) f (x0, y)、 Согласно (21.2), левая сторона уравнения (21.5) и (21.6) равны друг другу, что означает, что правая сторона равна. Если вы уравняете их с Dx = = = 0 и Dyerror = = 0 и уменьшите их до AxAy、 Благодаря непрерывности частной производной u [yy в точке x0,/ / o, переходим (21.7) к пределу в виде Dx-0, Dy-0, получаем(21.1). Ноль Примечания: 1.если функции η-переменной представляют собой последовательные N-е частные производные в определенной точке, то из доказанной индуктивным методом теоремы легко следует, что они не зависят от порядка производных. Это вытекает из того, что только порядок производных может быть передан друг другу с конечным числом шагов для каждого шага (т. е. 2 производных с одинаковым общим числом производных для каждого фиксированного аргумента).

Таким образом, с каждым шагом фактически учитывается изменение порядка дифференцирования функций только 2 переменных.То есть, в данном случае это будет состояние теореме, доказанной выше.Таким образом, в общем случае будет функцией 2-х переменных. Позвольте мне проиллюстрировать это на примере.Например, мы докажем это Согласно вышесказанному, в ряду Примечания 2.In выводя этот раздел, следует отметить, что на первый взгляд кажется, что доказанная теорема не очень важна.Согласно этой теореме, чтобы определить, выполняется ли равенство[xy-[yy 1], Необходимо проверить непрерывность функций [xy и 1yh, и поэтому, если вы уже знаете их, вы можете узнать, равны ли они в любой теореме.Тем не менее, теорема 1 все еще остается important.

Таким образом, мы видим, что все основные функции многих переменных являются смежными в области их определения. Людмила Фирмаль

• In действительно, бывают случаи, когда о непрерывности функции можно судить на основании нескольких общих теорем, не прибегая к конкретному расчету и изучению самой функции. (см.§19.4).С другой стороны, поскольку частичная производная элементарной функции сама по себе элементарна, например, если частичная производная некоторой элементарной функции определена в окрестности точки, то эта производная непрерывна во всех точках указанной окрестности. Выпуск 18.Если функция f (x, y) определена вместе с ее частными производными, и и} X, Y, где xy и} окрестности точек (x0, y0), то частичное} докажет, что оно смежно с точками (x0, y0), и только тогда.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Производная по направлению.	Дифференциалы высших порядков.
Пример исследования функций двух переменных.	Первообразная и неопределенный интеграл.