Оглавление:
Дифференцирование сложной функции
Дифференцирование сложной функции. Теорема 5. Предположим, что функции x(1) и y ({) 1 переменной I дифференцируемы в точке fn (как известно, (См. § 9.2). (1), y0 = y ((o) если функция r = [(x, y) дифференцируема в точке Do, y o), то комплексная функция r = [(x (1), y ()) (имеет производную от 0, и эта производная вычисляется по формуле Или более подробно、 Доказательство. Согласно определению Дифференцируемости функция f(x, y) определяется в окрестности точки (x0, y0).Дифференцируемость функций x(f) и y(I) это Дифференцируемость точки(0.It означает непрерывность. Таким образом, согласно выводам теоремы 19.4 2, это сложная функция!(Х(1), р /(/)).
Это эквивалентно существованию производной в точке 0. Людмила Фирмаль
- Дифференцируемость функции r = f (x, y) в точках (x0, y0) является ее полным приращением Формы могут быть представлены Где функция e = e (Дл., Ду) это ПТГ (AX, ау)=0.Здесь.、 Как обычно, p=] / Dx2 + Dn2. установив e (0, 0)= 0, функция e (0, 0) в точке (D. G, Du) (см. доказательство теоремы 9.7 в§ 4). Таким образом, определенная функция e(Ax, a y) непрерывна в точке (0, 0). Пусть DI-приращение переменной I, а Ax = x ({0 + DO—x (1b), Au = y (10 + A1)-y (10)). Разделите обе стороны уравнения. Δ (0, функции x (1) и y (() обусловлены непрерывностью точек） Чтобы получить D, r-0 и D0-0, Ptr = 0.И так оно и есть.、 Теорема о построении непрерывных функций (см.§ 19.3), Пте (дл., Ду) = 0.
Наконец, обратите внимание, что существует конечное Из всего этого следует Δ (Если-0, то правая часть уравнения (20.24) имеет тенденцию к ограничению С другой стороны, левая сторона этого выражения, т. е.^-.имеет тенденцию к тому же ограничению, что означает, что любое q-существует в точке^ 0 и представлено выражением (20.22). [] 、%И% функции 2 =((x, y), в процессе доказательства практически Были использованы более мощные свойства этой функции, чем наличие частных производных, то есть Дифференцируемость. Упражнение I.
- Если вы отвергаете требование Дифференцируемости функции r(x,y) в точке (x0, y0), это указывает, однако, что это только при предположениях дециграмм. Существование частных производных в этой точке Вообще говоря, точки{0, производные в выражении (20.22) и^не справедливы, и, кроме того, комплексные функции f [x ((), y ()] (предполагается, что они имеют смысл) в точке 1a. Предположим, что результирующие функции x = x (u, y) и y = y(u, y) определены в окрестности точки(u0, y0), а функция r = [(x, y) определена в окрестности точки (x0, y0), где xn = *(a. o. Yo), yo = y(uo, yo). Если функция f (x, y) дифференцируема точкой (x0, y0) и точкой (<sup class=»reg»>®</sup>o. Доказательство. Зафиксируем Y = Y0 и рассмотрим комплексную функцию r = [[x, y0) от 1 переменной u, y(u, y0)).
Согласно теореме 5, эта функция определяется в окрестности точки u0 и имеет производную при этом point. So … Производная^точки (u0, y0) также существует из выражения (20.22 Формула (20.25) продолжается. Тс Аналогично, частные производные существуют в точках (s, y0), а комплексные функции r = [(x(u, y), y(u, y）） Точка (uj, yy) имеет частную производную по отношению к y, формула Рассмотрим общий n-мерный случай. Функция г = г (Х1,…, xn) точка x (0,=(x’1,…. приведенный в окрестности (х Трансальп) и набор((и Пк является функцией Х, = Х, интернет… ф.*）、* ’= 1、2、…если вы хотите… / * ° )==».Для функций y-y(x) y (xi …. xn) дифференцируема в точке n ’(0).
Конечное выражение для производной комплексной функции содержит только частные производные/ Людмила Фирмаль
- Очки=（// ’、4°’）и есть частичная дифференциация. / = 1, 2,…k, 1 = 1, 2,…n, то комплексный конечный Y (x ((())) равен Точка / / 0) частичный дифференциал В этой точке (u0, y0) существуют также частные производные комплексной функции r = [[x (u, o), y (u, y)]. В соответствии с вышеуказанными предположениями、 Производная и, 1 = 1, 2,…н, ф = 1, 2,…N является непрерывной Частные производные комплексной функции y = y (x (k)) также задаются выражением (20.26) в точках x * 0 *и/, 0\ соответственно Она непрерывна в точке 40), поэтому она дифференцируема в этом отношении (см. теоремы 3 и 20.2).В следующем разделе доказывается Дифференцируемость синтеза функций при более слабых допущениях.
Смотрите также:
