Частные производные и частные дифференциалы

Частные производные и частные дифференциалы

Частные производные и частные дифференциалы. Во-первых, рассмотрим случай функции из 3 переменных. Определение 1.Допустим, мы задаем функцию u-u (x, y, r) в окрестности точки (x0, y0, r0).Изменение переменных y и r, y-y0, r = r0 дает функцию 1 переменной x. u = u(x, y0, r0).Нормальная производная этой функции в точке x = x0 (см.§ 9.1) называется частной производной функции, а в точке (xn, y0, r0) (x, y, r） представленных на X、 Подобный этому Обратите внимание на спецификацию DI для частной производной переменной x (X » ’Y°’ ’является традиционным, А X «’Y °» традиционным). Ф’о, Уог)Ух новую функцию, показывая какой-то один символ, и его значение находится в точке(х’о. Уо. Это связано с тем, что он будет рассмотрен в следующем разделе («Г»).

Аналогичное определение применимо к любому числу переменных. Людмила Фирмаль

• Если вспомнить определение обычной производной〜(см.§ 9.1), то согласно этому определению、 Или если ввести обозначение u (x0 \ Dx, y0, r0) u (xa, y0, r0)= Dxi, (DdI-приращение функции переменной x）、 вводятся также специфические производные y и r Где Dui и Agi-приращения функций в переменных y и r соответственно. По аналогии с функциями 1 переменной, линейная функция^ Ax,^ AU. ^ Переменная Ax, Au, Ar, называемая производной независимой переменной, называется частной производной функции u (x, y, r) по отношению к переменным x, y, r、 6×4 =-;о, Ауи = АУ, А ^и^—Ар. Если функция y = * *% n) определена несколько Или, что эквивалентно, опустите нотацию аргумента.

Точка x 0)=(x) 0 ’,…, x’N), по определению Обозначение yy также используется для указания частных производных. Или [X .. Частичный дифференциал dx. u определяется по формуле Таким образом, она является линейной функцией переменных xx,-и называется дифференциалом независимой переменной x, -.Здесь всюду 1 = 1, 2 п. Если n = 1, то частичная производная соответствует нормальной производной, а частичная производная соответствует нормальной производной. Это единый символ, то есть подчеркните, что числитель и знаменатель не имеют самостоятельного значения. С другой стороны, конечно, частичная производная может быть записана как И в виде частного из 2 производных.

• Если вы определяете частичную производную как нормальную производную, то вы можете использовать правила вычисления нормальной производной при вычислении частной производной, если все переменные фиксированы, за исключением переменных, которые принимают производную. Например, вам нужно выполнить поиск Вода^функция r-hue/ y. по этой причине это исправлено Для выражения x получаем функцию от 1 переменной y и вычисляем ее производную. Чтобы завершить этот раздел, обратите внимание, что непрерывность функции переменной ETA в определенной точке не подразумевает наличия частных производных в этом отношении. соответствующий пример в случае m = 1 был приведен ранее (см.§ 9.2).

Важно отметить, что если 5 = 2, то наличие всех частных производных в какой-то момент времени не означает непрерывности функции в это время*. Условие непрерывности функций некоторых переменных в определенной точке накладывает определенные ограничения на их работу, когда они приближаются к этой точке во всех направлениях, но наличие частичного дифференцирования в определенных точках, когда они приближаются к точке, указанной только в направлении, означает, что функция удовлетворяет определенным условиям, поэтому это естественная координатная ось.

Эта функция имеет частные производные по всей плоскости и разрывные в точках (0, 0). Людмила Фирмаль

• Чтобы прояснить это, рассмотрим функцию f (x, y), которая равна 0 для xy = 0 и равна 1 для xyF 0. Напомним, что если * Λ= 1, то есть функция переменной 1, то непрерывность функции в этой точке также следует за существованием производной в некоторой точке (см.§ 9.2). Однако, например, линия y = x вдоль предела (x, y)-(0, 0) равна 1, а f(0, 0)= 0, поэтому эта функция прерывна в точке (0, 0). Кроме того, он имеет частные производные во всех точках и все еще имеет разрывные functions. An примером такой функции является функция (почему? это не.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Теоремы о функциях, непрерывных на множествах.	Дифференцируемость функций в точке.
Равномерная непрерывность функций.	Дифференцирование сложной функции.