Равномерная непрерывность функций. Модуль непрерывности

Равномерная непрерывность функций. Модуль непрерывности

Равномерная непрерывность функций. Модуль непрерывности. Помимо понятия непрерывности функций в одной точке большую роль в математическом анализе играет так называемое понятие равномерной непрерывности функций на множестве. Определение 9.Функция f (x), определяемая множеством c C Hn, имеет δ=δ (ε) 0 для любого ε0 и для любых 2 точек Заметим, что если функция / равномерно непрерывна на множестве E, то она просто непрерывна на E, т. е. непрерывна в каждой точке x (0)∈E. To проверьте это, поставьте например (19.10) и (19.11) Если функция / непрерывна в каждой точке x E C, то для E0 она равна только 6 = 6 (e; x), поэтому все x’es удовлетворяют условию p (x, x’) 6, отсюда неравенство| / (x)-/(x ’)| e. In в этом случае выбор b зависит не только от e, но и от точки x в общих чертах.

Если вы описываете указанное определение с помощью логического символа, предыдущее содержимое отображается четко. Людмила Фирмаль

• Если функция / равномерно непрерывна на множестве E, то она подчеркивает, что выбор соответствующего δ зависит только от e, а не от выбора точек на множестве E. Виде функции непрерывных условиях / набор имеет это И условие равномерной непрерывности на Е имеет вид: Пример 1.Функция f (x)= x равномерно непрерывна по числовой оси. Так как при заданном e 0 достаточно взять b = e, то 6, то по равенству f (x)= x (x’) = x’,| f (x)-!(Х ’ | / е. 2.Функция[(x)= zn -, x = ^ 0 не является равномерно смежной в области ее определения, то есть на числовой оси, на которой точка x = 0 является removed. In факт, например, если e = 1, то любые малые 6 0 будут иметь точки x и x’.

Например, точка формы (n-достаточно большое натуральное число)| x-x ’| 6, в то же время| /(x)-/(x’) | 1. В качестве достаточного указания на равномерную непрерывность функций 1 переменной на интервале отметим следующее. Лемма 2.Если функция f (x) определена и имеет ограниченный дифференциал в одном интервале (a, b), то она равномерно непрерывна в этом интервале. Фактически, если в (a, b) это\ [’(x)\(c-константа), то используя формулу конечных лагранжевых приращений (см.§ 11.2、 Так, для Е0, б = е / с вполне достаточно. Тогда Х ’ Х! Б, х б, кулер ACX ’ЦБ, затем (19.12), в\ неравенство {(х’)-[(х)\ е проводит. То есть функция / равномерно смежна с(a, b). Г] Аналогичные результаты применимы к конечным или бесконечным произвольным интервалам. Обобщение этого критерия для многомерных случаев описано в§ 39.2. Следующие теоремы имеют фундаментальное значение.

• Теорема 5 (Кантор). Компактная и непрерывная функция является равномерно непрерывной. Функции, смежные в результирующем сегменте, равномерно непрерывны. Доказательство теоремы. Используйте противоположный метод. Предположим, что существует функция/, которая определена в компактном наборе DCD и является непрерывной, но не равномерно непрерывной. Тогда для любого δ0 точки x’b ^ E и xb> E (для точек индекса «b», что означает в зависимости от выбора b (p) (xb, x’&) b, в то же время| /(xC)-/(xb)!2 = Е0. Пт bt = 0, например 8t = 1 / t Поскольку множество E компактно, под-последовательности сходимости можно отличить от последовательностей. {x ^ m ^}предел^принадлежит компактному множеству E、 = ^ Эдж. Точка^является^ EE, потому что она является точкой касания замкнутого множества E.

Теперь рассмотрим подпоследовательность {x ^ m ^}последовательности{x «m»}, соответствующую подпоследовательности{x ’^ m^\. / г* СО Поскольку функция / непрерывна в точке 2, ∈E、/（/（» *）））-/ /（B)быть k °°、 Однако последовательность{x ’(tf и{x «(см. tf (19.13))） Все k = 1, 2,…. Очевидно, что условия(19.14) и (19.15) несовместимы друг с другом. Это доказывает теорему 5.[3 Обоснованность метода индукции получается из того, что сегмент является компактным. Обратите внимание, что если требование о том, что рассматриваемая функция имеет непрерывное множество компактно, отклоняется, оно не может быть равномерно непрерывным. Например, функция/(x)= 1 / x определена и непрерывна на интервале (0, 1).это ограниченное множество, но не замкнутое.

Другой подход к концепции равномерной непрерывности часто оказывается более удобным. Людмила Фирмаль

• Эта функция не является равномерно непрерывной через интервалы (0; 1). Функция y = x2 определена на всей действительной оси и непрерывна. Это замкнутое множество, но оно не имеет границ. Эта функция также неоднородно смежна на реальной оси. Этот раздел предоставляет немного больше доказательств того, что функции y = 1 / x и y = x2 неоднородно смежны в указанном наборе. То есть с помощью модуля так называемой функции непрерывности. Определение 10.Определите функцию в наборе E a Hn. Модуль.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Непрерывность композиции непрерывных функции.	Частные производные и частные дифференциалы.
Теоремы о функциях, непрерывных на множествах.	Дифференцируемость функций в точке.