Теоремы о функциях, непрерывных на множествах

Теоремы о функциях, непрерывных на множествах

Теоремы о функциях, непрерывных на множествах. Функция/называется непрерывной в множестве если, если она непрерывна в этом множестве при каждом point. In в этом случае функция E также называется смежной в множестве E. Докажем некоторые теоремы о последовательных функциях на множестве. Доказаны эти теоремы, а также соответствующие теоремы функций 1 переменной. Начнем с обобщения теоремы Вейерштрасса (см.§ 6.1) на многомерный случай. Определение многих понятий Например, см. раздел 4.1, такие как ограниченная функция, верхняя и нижняя границы функции.

Мы рассмотрим их в довольно общем предположении; это позволит нам лучше понять, с чем связаны свойства непрерывной функции. Людмила Фирмаль

• Теорема 3.Все функции, смежные в компактном множестве, ограничены на нем, достигая его верхнего и нижнего* K доказательства. Предположим, что функция / непрерывна в компакте Ann, а M =§ir/.Выбирайте по аналогии с одним В случае размерностей (см. доказательство теоремы 6.1 в разделе 1) последовательность чисел ai, таких как Fi am = M и am M, m = 1 Каждая М-1, 2,…Например, существует точка xm> A, то есть f (x (m)) am. Поскольку множество a компактно, последовательность{x {m} \может различать сходящиеся подпоследовательности{x (m)}, ограниченные L. k = 1, 2,…в этом случае выполняется неравенство.[(X ^ m ^) ^ M. Если вы пройдете его до предела в ω, вы получите золото! (x^^) = непрерывность функции M.

В точке Таким образом, верхняя граница функции / конечна, поэтому функция / ограничена top. In кроме того, этот предел достигается точкой x (0) e L. аналогично, это доказывает, что функция/ограничена ниже, и ее нижняя граница достигается в некоторой точке множества L. ноль Далее мы рассмотрим обобщение теоремы Коши о промежуточных значениях (см.§ 6.2) для случаев функций некоторых переменных. Теорема 4.Предполагая, что функция / определена в области o Cn и непрерывна, принимая любые 2 значения O, функция / принимает значения, заключенные между O и it. Доказательство. Предположим, что функция/является смежной в области Oa.»пусть D’ey, # eC, f (x (1))-a, f (x’2))= b и, например, A C. b.

• In кроме того, c-L. согласно определению области (см.§ 18.2 определения 25 и 26), кривая x (1), подобная x (a), существует х ({)=(хм ((),…, xn(1)), по определению кривой, функция (0 непрерывна на интервале[a, 0].Суперпозиция непрерывных функций по теореме 2 ′ множество переменных, функций!{х {!）)=! (ХХ {1),…, xn (1)) также смежно Сегмент[а, р]. ((x (a)= a, f (xf)) поскольку b и a являются b, существует точка P согласно теореме Коши (см.§ 6.2） [(x ((0)) s. предполагая, что x (0)= n(^ 0), то r, 0) становится eO и Hx ( ° )) = c. я не уверен. Результирующая замкнутая область O определяется как непрерывная функция/принимает 2 произвольных значения и принимает o и промежуточное.

Доказательство. Определите область C, _ функцию/, и в ее замыкании непрерывные O, e 0, Д)) О0,/(Д))= a,/(.. 2)= B и уточнить. c. пусть B будет. Пункт 1,^.Докажем, что 0 существует. Возьмем число e 0 определенное в уравнении Из-за непрерывности функции/, δ=δ (ε) 0 присутствует в x (1), x> u(x (1); 6) on, то| /(x)-/(lD)| e, следовательно| f(x)-a \ Cc-в частности?(х) УК. Поскольку точка ДеО0, или точка X (1), является точкой соприкосновения коллектива в, то в окрестности II (ЛД; 6) действительно есть точка, принадлежащая о. (1).Следовательно,^ я)^ ^ .11(х(х)\ б) ПС, следовательно!(Y (X)) c. используя аналогичный метод, докажите существование точек l/, таких как f (y (2))•c, d) E C.

Это было использовано только то, что любые 2 точки могли быть соединены кривой, принадлежащей самому множеству, то есть соединены прямой линией. Людмила Фирмаль

• By теорема 4, существование точек y (1 с заданным свойством области O и y {2) определяется выражением f (((;) = c).0 означает наличие точки. Заметим, что ни само доказательство теоремы 4, ни доказательство ее результата не является фактом того, что множество O является open. Упражнение 4.Функция / является непрерывной и получает значения различных кодов в открытом наборе. Докажите, что / Φ0-это множество точек, которое является открытым множеством, но не областью. Выпуск 16.Настроить домена пример вывода. В замыкании O нет 2 точек, которые не соединены O непрерывной кривой.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Непрерывность функций.	Равномерная непрерывность функций.
Непрерывность композиции непрерывных функции.	Частные производные и частные дифференциалы.