Многомерные векторные пространства

Многомерные векторные пространства

Многомерные векторные пространства. В разделе 15.1 было отмечено, что для фиксированной системы координат в трехмерном пространстве определение вектора эквивалентно определению его 3 координат. При добавлении вектора и умножении числа выполняется то же самое действие с координатами. для n измерений вектор можно определить, используя его координаты. Определение 31. N реальные упорядоченные системы Это называется n-мерным вещественным вектором x и числом xj … …xn называется его координатой. Число n называется размерностью вектора. Вектор х =(Х1…. xn) и y =(y1,…сумма, yn) x + y-вектор И произведение вектора X и числа X E является вектор.

Множество всех n-мерных векторов, в котором вводится операция сложения вектора и умножения вектора на действительное число, называется N-мерным вещественным векторным пространством, или более полно n-мерным арифметическим векторным пространством на действительном числе. Людмила Фирмаль

• Вектор 0 =(0, 0,…0) называется нулевым вектором или N-мерным векторным пространством нуля. По определению, вектор-Λ=(-1) n? называется противоположностью X. Итак, если вы добавляете сложение элементов и умножаете числа в соответствии с определением 31, то n-мерное арифметическое пространство (см. Определение 1 в§ 18.1) будет n-мерным арифметическим векторным пространством. В случае 3 измерений каждая точка M =(xd, x2, x3) в этом пространстве имеет свой радиус-вектор, т. е. вектор ОМ = (x1g x2, x3).Сравнение представляет собой соответствие 1-к-1 между точками в трехмерном пространстве и векторами в нем. в отличие от n-мерного векторного пространства, n-мерное арифметическое пространство, введенное в разделе 18.1, определение 1, иногда называют точечным пространством.

Итак, векторное пространство n-мерных точек и n-измерений состоит из одних и тех же элементов-из упорядоченной совокупности n вещественных numbers. So это пространство и другое пространство имеют один и тот же символ. Они отличаются друг от друга тем, что понятие расстояния между элементами вводится в арифметическое n-мерное пространство (см. Определение раздела 18.1, 1).Также в n-мерном векторе определяется операция сложения векторов и умножения их на действительное число (см. Определение этой кисти 31). если vi указывает на N-D вектор, то k фиксируется, если все его координаты не равны нулю, а KTH-1. Является натуральным числом (Ae {1, 2,…. n}) и любой ETA-мерный вектор x =(x1,…хы) равенство Его правая сторона-вектор Е… вектор en называется X expansion.

• In кроме того, коэффициент этого расширения xi … xn уникален. То есть она однозначно определяется вектором n. Таким образом, по уравнению (18.31), координаты xi …соответствует xn. Вектор ek, k-1, 2,…n называется координатным или базовым вектором и их комбинацией{eb … называется ли [en] стандартной основой пространства?(Общее определение основания дано в§ 57.2). Подмножеством векторного пространства Hn 7 может быть любой вектор x e k, y = b и любое число X e?, Пе /?В случае пространственного лл подпространство называется. Включение происходит Определение 32.Вектор х =(Х1,…, xn)и y =(y1,…скалярное произведение n (yn), 3-это число, обозначаемое (x, y) и определяемое формулой.

Из базовой математики известно, что уравнение (18.32) справедливо и для нормального определения скалярного произведения вектора, Т. Е. Λ> 3. Все N-d векторные пространства, в которые вводятся скалярные произведения, называются Евклидами. Число V (x, x)= Vx \ + … + x’N называется длиной вектора x и представляется в виде|π|. Очевидно, что любой вектор xeK и любое число Ae /?За равенство Кроме того, из неравенства (18.3) (см.§ 18.1), для любого x∈Rn, y∈γ? Это называется неравенством треугольника. (18.35) Если вы хотите узнать больше, вы можете использовать следующую команду: y1, следовательно§ 18. потому что X и y равны、 Из последних 2 неравенств (18.36) будет следовать. П Х =(ХІ …хы) уй =(Си… если, уя), ху =(Х1-яй… …хп-УП） Где l и в точке точки-размерное пространство с теми же координатами, что и хна vector.

Поэтому все понятия, введенные в точечном пространстве, также имеют смысл в векторном пространстве со скалярным произведением. Людмила Фирмаль

• So, в «размерном векторном пространстве со скалярным произведением» определяется расстояние между элементами| x-y|, которое совпадает с расстоянием p (x, y), определенным в§ 18.1. Заметим, что в качестве примера использования векторной символики замкнутая сфера C} n (x0, r) с радиусом r, центрированным на x0 в векторной нотации, определяется уравнением. И (—1) граница размерной сферы 5y-1 (x0, r) равна 5 ″ −1 Следующая прямая проверяемость для скалярных продуктов.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Различные типы множеств.	Функции многих переменных.
Компакты.	Предел функции.