Оглавление:
Длина дуги кривой
Длина дуги кривой. Прежде чем определить понятие длины дуги кривой, введите понятие деления сегмента. Это концепция, которая будет появляться неоднократно в будущем. Определение 17.Для любого отрезка[a, b] система для этой точки I/, 1 = 0、 Это называется разделением, где m = {^} 1 = oКривая V = {r(1), a> 1 <b) задана и пусть = = {!/ } / Предположим, что это разбиение интервала = & [a, 6]. Поставь Очевидно (рис.65), ax-вершина r (a), r (t),…Длина пунктирной линии, содержащей …, r (ln-x), r (b), то есть, как обычно говорят, пунктирная линия, вписанная в кривую G В частности, пунктирная линия вписана в кривую Γ= {/•(/).
Вы можете думать об этом как о кривой в смысле только при представлении выражения приведенного выше определения. Людмила Фирмаль
- Пунктирные линии, то есть точки M0, M1 …Множество, состоящее из конечного числа сегментов с вершинами в Mn (эти сегменты называются пунктирными связями).Возьмите несколько сегментов[a, b] и разделите их на n сегментов. для простоты многоугольное представление ISM» 1 = 1, 2, где m = { ^ }, = o-ISM каждый сегмент Ц таким образом всегда…предположим, что N] является непрерывным отображением p (()) на линейное отображение на сегмент. если обозначить через p, то точка M / 1 = 0, 1,…радиус-вектор n принимает вид векторного представления пунктирной линии Для 1 = 1, 2, N Mg-xpMg ломаная линия называется невырожденной. Определение 18.Значение 5g = zirstg, здесь берется верхний предел Все возможные разбиения m отрезков [a, b] называются длиной кривой G.Для 5r+ a кривая Γ называется корректируемой.
По этому определению линейность кривой и ее длина не зависят от выбора представления кривой и всегда являются Упражнение 1.Докажите, что кривая, которая является частью корректируемой кривой, также корректируется. Лемма 2.Γ= Gagygy; тогда раздел m с сегментами[a, b] и раздел C с тем же сегментом m *, Если точка c включена в раздел m, и добавить точку c, если эта точка не включена в раздел m. раздел m с сегментами[A, B]]. объединение 2 разделов[C] и [c, b], представленных MN и XB.То есть m * xnx.Очевидно, что для длины ломаной линии, соответствующей разбиениям m*, xa и xb, выполняется равенство= cr +0Γ.Но zir0x = 5g, zir0x = 5g.、 при переходе от раздела m к разделу m*, только 1 Ссылка r (^_x) r(^)отображается в 2/ /（^ _ 1）/、（c) и r (c) заменить на r ( ^ ) и I g Но 5р =0 воздуха, а, следовательно, Сейчас мы доказываем обратное неравенство.
- Существуют oXa + 0X для любых XA и XB разделов сегментов [a, c] и [c, b], а также разделы x * = xa]] x для сегментов[a, b]. ПХ. -c 5r-таким образом, если мы зафиксируем разбиение xb \0Xa,$ 5r-o%, и передадим его на верхний предел 0X всех видов xa, то получим неравенство 5a ‘C = ^ 5r-Ox, а затемВозвращает верхнюю границу набора чисел, полученных всеми возможными разделами xb. Заметим, что Лемма 2 не предполагает, что рассматриваемая кривая является фиксированной. Задача 12.Создайте пример неизменяемой кривой. Теорема 1.Если кривая Γ= \ r ( / ), a + A(b) непрерывна дифференцируема,то она фиксируема, и ее длина 5r удовлетворяет неравенству. Благодаря непрерывности производной r ‘(1) ее абсолютное значение| g ‘(1)|также непрерывно и, таким образом, достигает максимума M отрезка[a, b]. Доказательство.Используйте раздел x = { ^ } = o для интервала[a, b].
Далее, если применить неравенство (15.11)、 С Делением m называется длина штриховой линии, вписанной в соответствующую кривую Γ, и все 1 = 1, 2,…, о n, неравенство по (16.10) / r ‘ ( | , -) / M, то разбиение m из неравенства (16.11)、 П Передача этого неравенства на верхнюю границу m дает описание теоремы. Я не уверен. Теорема 2.Предположим, что кривая Γ= {r (/)=(x(I), y (1), r (1))\ a ^ 1 ^ b \непрерывна дифференцируема.Тогда переменная длина дуги b, отсчитываемая от начала кривой Γ r (a) или от ее конца r (b), соответственно увеличивается или уменьшается、 Соответственно Непрерывная дифференцируемая функция параметра 1 Доказательство. Пусть 5 = 8 (1) длина дуги кривой Γ от точки r (a) до точки r (1). Пусть b], 10 \ A1 ^ [a, b]и A-Z = 8 (10 + A1) s(1).Очевидно, что функция ε=ε (1) возрастает с интервалом[a, k].
Здесь переходим к пределу как и на левой стороне неравенства по определению производной, а на правой стороне для непрерывности производной. Людмила Фирмаль
- То есть, если/ 0 равно 0, то з3> 0. Случай Λ> 0、 О Дее^.Поэтому он всегда-d-0. Откуда Примените неравенство (16.9) к той части кривой γ, которая соответствует интервалу [/»/0 +ДУ1 интервала^/ 0 и/ 0+ду1 (соответственно, отрезку^ ^ ^0 [^о+^^, / 0]). Где M-максимальное значение| R ’(1) / / 0, если интервал[70、0 0 + / /]、или для^ ^ 0, отрезок[^ o + ^ ^, / 0] Из-за непрерывности производной r ’(1) ее абсолютное значение| g ’(1)|непрерывно, поэтому ее максимум существует. То есть, он будет принят в какой-то момент. = = ^ o + bD ^ 0 6 1, для указанного сегмента. Таким образом, неравенство(16.15) можно переписать в виде: получаем r ’(1) с 1 = 10| r’ (/0)|.Поэтому ограничение игл является.
Смотрите также:
