Касательная к кривой. Геометрический смысл производной вектор-функции

Касательная к кривой. Геометрический смысл производной вектор-функции

Касательная к кривой. Геометрический смысл производной вектор-функции. Предположим, что кривая T = {r(1), ) задана, а векторная функция r(1) дифференцируема в точках 10 [a, b]и R ’(10) Φ0.С По определению дифференциации Точки Р(10) и F•(ФН {называется секущей кривой г. Это выражается как 1 м(рис. 64).Для достаточно малого A1pP разделительная линия равна 1 м при условии r (10) Φ.Вектор Ар = = Р(1О + АО-Р(10), параллельной этой секущей и вектор А?0 отличается от вектора A r тем, что ему параллелен только скалярный множитель 1 / D/. Поскольку все секущие линии проходят через одну и ту же точку η 0 (0), геометрическая формула(16.5) означает, что секущая 1 м, где Δ/стремится к нулю, переходит в определенное предельное положение, то есть прямая, проходящая через одну и ту же точку r (/0) в направлении вектора r ’ (^0).

Согласно гипотезе, точка (0) имеет производную, то есть предел. Людмила Фирмаль

• Эта линия однозначно определяется условием r ’(10) Φ§.Это называется касательной линией кршая в точке r (1°). Таким образом, по самому определению касательной кривой Γ в точке r (10), касательной направления r ’((0) Φ0 является вектор, параллельный касательной, производной r’(1) векторной функции r ’(0) точки r (o)-если начало вектора R ’ (10) находится в этой точке, то касательная обычно равна В рассматриваемом случае дифференциал π (10)= r ’(10).Так как 1-1 также отличается от производной только скалярным коэффициентом M, то она ориентирована по касательной кривой. Вектор I = = r ’1 \ r’|, где r ’ 0-единичный вектор, направленный по касательной.

Поскольку вектор Ar D / 0 ориентирован от точки кривой, где значение параметра мало, до точки значения параметра велико, вектор Ar D * 0 является направлением, в котором параметр на кривой увеличивается, то есть положительным направлением на кривой. Направление вектора A1 0 совпадает с направлением вектора Ar. Tm-4 ^ = r ’ ( / ), поэтому вектор равен r ’(0, следовательно, вектор I, вероятно, отличается вектором r’(1)и положительным числовым коэффициентом 1 / | r ’(1)|, но увеличение параметра и его направление (направление) соответствуют направлению кривой, а направление вектора (или вектора r’) называется положительным положительным направлением. Уравнение касательной кривой Γ в точке r (r (r (0) ^ 0) Φ0 в векторной системе счисления имеет вид、 Где r-текущий радиус-вектор tangent.

• In координатная запись, форма касательного уравнения в этом случае равна за исключением переменной m. 15.Пусть Γ-дифференцируемая кривая, r (1) ^ (^b) ее векторное представление. кисть является специальной, где r ’Φ0-точка кривой Γ, называемой неособой, и r’ = 0. 。 если r =(x (1)), y(1), r(1)), то из уравнения\ r ’\ = Yx, 2.\y’2 + r’ 3 (см.§ 15.2) имеют. Точки Γ (x (1), y(I), r (()), в них x ’2 + y2 +r’2 0, то есть по крайней мере 1 производная x’, y ’и r’ не исчезают. Согласно тому, что было доказано выше, существуют касательные во всех не-точках кривой Γ. В определении 15, если это выражение дано, было бы более формально правильно говорить о сингулярностях и не точках кривой. Этого сделано не было, так как понятие сингулярности не зависит от выбора представления кривой. Объясните это и докажите. Допустимым параметром преобразования дифференцируемой кривой является функция 1-1 (x).

Это строго монотонная дифференцируемая функция, как сама по себе, так и в обратном направлении. Таким образом, txx ’[’ = \получается теоремой 9.6 раздела 3 о производных обратной функции. Таким образом, для каждого допустимого преобразования 1 = 1 (m) параметры дифференцируемой кривой всегда T(x) Φ0,, ФΦр. С Несинглы 1-го выражения дифференцируемой кривой являются одновременно несинглами в другом ее выражении. Определение 16.Непрерывные дифференцируемые кривые Без особенностей называются гладкими. Если плоская кривая имеет явное выражение y-y (x) или x = x (y), то вектор(x ’(1), y’(!Обратите внимание, что) не всегда zero.

Кривая, которая может быть представлена как сумма конечного числа гладких кривых, называется кусочно-гладкой. Людмила Фирмаль

• In в первом случае (1, y’), во втором случае-(x’, 1). Касательные определяются в случае точек r (10), (0 e [a, b] и r ’(10), аналогично предельному положению секущей и кривой T-{r (1), a ^ 1 ^ b}. = 0, однако, Φη) (10) существует положительное целое число η1 из Φ0. Все r (b) (1°)= 0, k = 1, 2,…в случае n-1 и r n (10) Φ0, если разложить r по уравнению Тейлора、 Вектор параллелен секущему 1A / проходу Пройдите через точки r (0) и r(10 + A1).Из написанного равенства вы можете видеть, что существуют ограничения Итак, в этом случае предельным положением секущей линии 1A/, то есть касательной к точке r (10), является линия, проходящая через точку r (*0) параллельно вектору r.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Параметрические заданные кривые.	Длина дуги кривой.
Ориентация кривой. Дуга кривой. Сумма кривых. Неявное задание кривых.	Плоские кривые.