Производная и дифференциал вектор-функции

Производная и дифференциал вектор-функции

Производная и дифференциал вектор-функции. Определение 4.Определите векторную функцию r-r(1)в окрестности 1a. если существуют ограничения Она называется производной векторной функции, заданной^, обозначаемой r ’(1n) или r ((n)). Итак, производная векторная функция в какой-то момент является вектором. Чтобы получить 10 производных функции r(1)=(x (1), y (1), r ( / )), определенных в окрестности точки 10, функции x (1), y (() и r (1) имеют производные 1 = 10, в данном случае функция x (1). Это непосредственно вытекает из эквивалентности 2 подходов (15.1) и (15.3) к определению ограничения векторных функций. Определение 5.Векторная функция r = r (1), определенная в окрестности точки/ 0, называется дифференцируемой, если приращение Ar = A из^=!(0) точка (10)） Она позировала в форме Пт е (А1)=0.

Как и в случае скалярных функций, дифференцируемость функции предполагает существование производной и ее равенство вектору a. Людмила Фирмаль

• In кроме того, линейная векторная функция * aA {&/■о Производная функции R (0) в точке{1、 * Векторная функция аргумента I для вида a1 \ b называется линейной. Где A и B-2 фиксированных векторов. Очевидно, что если векторная функция дифференцируема при 1 = 10, то она непрерывна в этой точке. In факт, от(15.8) И наоборот, производная r ’ (^ 0)= Fri〜.Если 7 существует、 для ε (Δ*)= Ar ’(fn), Ar = r’(10) A1 + B(A () A1, где te e e(D/) = 0.Таким образом, R (1) дифференцируется на 10 точек По определению, установите независимую переменную I в 11 = A1.Затем (как правило, без обозначения аргумента 1е） (15.9) если вы присваиваете полученное выражение π、 Или Где a (A1)= e (A1) A1 = o (A^) для D ^-0*) и x(0)= 0.

Здесь (=1 (m).Если эта функция дифференцируема в точках m0, 1d-1 (тогда) и Am = m-m0, то для уточнения (15.10) (r ’ на r)） Числовые функции Если вы установите e (0)= 0, как в случае (см.§ 9.7), так как это Δ (0 для Dm-0)、 Таким образом, производную ГХ = РМ существует, и RX = Р \ 1х. Отсюда Как и в случае скалярных функций, инвариант производной векторной функции следует. Как для зависимой переменной 1, так и для независимой переменной m、 *Как и в случае скалярных функций, в случае векторной функции a ((), a (0 = in(0P(0. где (0 = 0. Указывает производную формулу векторной функции(аргумент опущен для упрощения обозначения). Здесь все рассматриваемые функции определяются в некоторой окрестности точки, и все производные справа от каждого уравнения существуют для 1-(0;, точка/ 0 также имеет производные слева, и записанное уравнение считается истинным.

• Все эти выражения доказаны, а также дифференциальное выражение скалярной функции. Например, докажите Формулу 4. Используйте свойство 1° 5°предела векторной функции, чтобы получить его. Формула Тейлора справедлива, если векторная функция r (1)-(x (f), y (1), r (f)) определена в окрестности точки, и в этой точке имеется n производных Она получается непосредственно из развертывания по формуле Тейлора координатных функций x ((), y {1) и r (1). Например, в некотором смысле аналог формулы конечного приращения не применим к векторной функции. Фактически, двумерная векторная функция r (1)=(ω$ 1, 500, 0 </ <2π.Р ’(1)= {г^, что^), \ Р’(?) / = T / sW2 / + co52 ^ = 1 (any/ e [0, 2n]).

Таким образом, нет такой точки в| e [0, 2π], если уравнение становится истинным, как в выражении конечного Лагранжева приращения скалярной функции、 г(2 л)-г(0)= 2lg(я）、 Поскольку нулевой вектор находится слева, r (2n)= r(0), а правая сторона не равна нулю. Следующее утверждение является конкретной заменой выражения конечного приращения векторной функции. Теорема 1.Пусть векторная функция r (1) непрерывна на интервале[a, b] и позволяет дифференцировать в нем. Тогда есть такая точка зрения? e (a, b)и др.

Вы можете видеть, что многие факты, установленные в теории скалярных функций, буквально переносятся на векторные функции. Однако, неправильно думать, что это всегда так. Людмила Фирмаль

• Доказательство. для r (a) r(b) справедливо ли неравенство (15.11) для выбора точек? e (a, b), потому что его левая сторона исчезает. пусть r (a) Φr (b).Оцените длину / вектор g (b) G (a)|r(b) r(a) 0. е）= | х 11 е|, потому что хе,\ е \-1, Хе = 0, и, следовательно, cogde =1.Так, Если е-единичный вектор в направлении вектора R (б)-р (а) Φ0、 \ r (b) r (a)\ =(r (b) r (a), e)=(r (b), e) (r (a), e), то есть значение разностной числовой функции /(0 =(р(0,е) (15.12） Конец сегмента[a, b]. \ р(б) р(а)\ = з)-р(а) (15.13） Из (15.12) следует, что функция/(t) непрерывна на интервале[a, b \и дифференцируема во всех своих внутренних точках.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Построение графиков функции.	Понятие кривой.
Понятие предела и непрерывности для вектор-функции.	Параметрические заданные кривые.