Понятие предела и непрерывности для вектор-функции

Понятие предела и непрерывности для вектор-функции

Понятие предела и непрерывности для вектор-функции. Определение 1.Если каждое значение 1 = E (где E-определенный набор чисел) соответствует трехмерному пространству конкретного вектора r = r ((), то векторная функция определяется в E, или векторная функция r (1). В этом определении, в зависимости от рассматриваемой задачи, значение r(1) можно понимать как свободный вектор, так и вектор с фиксированным началом в одной и той же точке(так называемый радиус-вектор). Если в пространстве задана прямоугольная система координат, то, как известно, каждому вектору соответствует упорядоченная тройка вещественных чисел-его координаты, и наоборот, это эквивалентно определению функций x (1), y (1) и R (()).

Соответствующая каждой упорядоченной тройке, эта тройка соответствует вектору, где число векторной функции является ее координатами, поэтому определение векторной функции равно 3 скалярным (числовым). Людмила Фирмаль

• Если существует 2 (0 = 0) для всех f∈E, то векторная функция r (1) называется 2-D. In в этом случае написано Длина вектора p обозначается через| p|.Предположим, что известны основные алгебраические свойства векторов, понятия скалярных и векторных произведений, а также свойства этих произведений. Скалярное произведение векторов a и b обозначается через A b или(a, b), а векторное произведение-через A b или[a, b]. Введение понятия ограничения, непрерывности, дифференцирования и дифференцирования векторных функций. Определение 2.Предположим, что векторная функция r (1) определена в проколотой окрестности точки, А a-вектор. Вектор a называется пределом функции r (1) из 1-1n, и если a = Mtr (1) (или r (1)-a для ^-*-> o), то 1-*и e 0 существует 6 = 6 (e) 0 Все I удовлетворяют условию Это очевидно (см. лемму в§ 4.9). Хотя бы в случае r (1)=(x@), y (1), r (1)) и a =(a, d2, a3) порядок a-Hm r (I) является необходимым и достаточным Так что| р (/) \\ х (/) топор.

• Следующие условия С условием, то есть аналогично доказывается и другое равенство (15.3). И И наоборот, если (15.3) выполняется, вы получите\ r (1)-a |-«-0, т. е. σ= Hm (1), сразу из(15.4). Отметим некоторые особенности ограничения векторных функций. 1°. Если Fri r (1)= a, то Fri / g (I) | = / a].Прямой. Неравенство 11g -|и 11^//* -\. В свойстве 2° 5°Все рассматриваемые функции определяются в определенной окрестности 1-й точки, за исключением, возможно, самой точки^ 0, и предполагают, что все ограничения, которые попадают справа от уравнения exist. It затем утверждается, что существует заранее Просто так./ \ Проблема слева, и письменное равенство-это истина. Все эти свойства доказываются таким же образом, как они доказывали аналогичные утверждения, с которыми они ранее сталкивались (см.§ 3.9, 4.7).Например, докажем свойство 5°.

Из-за природы пределов векторной функции сумма, скалярное, векторное произведение и скалярные функциональные произведения векторных функций являются смежными в некоторой точке, если все члены являются смежными в этом отношении. Людмила Фирмаль

• Во-первых, к вектору Итак, если p-p (((), g-q (I)и т.), | / д () (=0, и μ\(1)\являются ограниченными функциями, то из(15.5) (раздел 4.9） \\гу {(1)-a , ηηгггг (1) b. a (0 =γ1 ( * ) a, p(0 Здесь, благодаря (15.7), золото| АР (я)| = золото| а ({) х \ б =ПВП| ОС (^) хр (^)| = = 0.С Заметим, что если перейти к координатному представлению вектора и его скалярному и векторному произведению, то свойство 1°-5°предела векторной функции можно, конечно, получить с помощью выражения (15.3) из соответствующего свойства скалярной функции. Переходим к определению непрерывности векторной функции. Определение 3.Векторная функция r = r (определенная в окрестности+ 10) называется непрерывной Из равенства условий (15.1) и (15.3) векторная функция r ((()=(x ((), y (), r (1)) определена в окрестности точки^ 0, поэтому она непрерывна в этой точке, поэтому для= = > 0 необходимо и достаточно, чтобы функция x (0, yy), ψ) была непрерывной.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Асимптоты.	Производная и дифференциал вектор-функции.
Построение графиков функции.	Понятие кривой.