Производная и дифференциал сложной функции

Производная и дифференциал сложной функции

Производная и дифференциал сложной функции. Теорема 5. Предположим, что функция y = A (x) имеет производную в точке x0, а функция r = P (y) имеет производную в точке yo = A (x).Тогда комплексная функция Φ (x)= E [A (x)]также имеет производную от x = x、 Если комплексная функция Φ представлена Φ= P°A (см.§ 5.2), то выражение (9.21) можно записать следующим образом: Заметим, что утверждение о существовании производной комплексной функции E [/(x)] в точке x0 содержит предположение о том, что рассматриваемая комплексная функция имеет смысл, то есть определена в окрестности точки x0. Опуская значение аргумента и используя нотацию производной, используя производную, можно переписать уравнение (9.21) в следующем виде: Доказательство.

Вы также можете использовать правила дифференцирования сложных функций для поиска производных неявно определенных функций. Людмила Фирмаль

• Во-первых, по определению самой производной функция определ определяется в окрестности точки y0 Q (y0), и поскольку существование производной a ’(x0) означает непрерывность функции a, то в этой окрестности y(y0) существует окрестность c (XO) точки X0 A (W (x0)) и q (y0), таким образом, для всех X∈c (x0), с). Как обычно, пусть Ax = x-x0, Au = y-yo, Ar = P (y)-P (yo).Функция имеет дифференцируема в этом отношении, поскольку она имеет производную в точке y0 (см. § 9.2).Это означает, что приращение Ar всех Au, принадлежащих окрестности точки Ay = o (включая и с Au = 0), может быть представлено в следующем виде (см. уравнения (9.6) и (9.7） Разделите обе стороны равенства (9.22) на DXF. Функция y = A (x) имеет производную в точке X0.

То есть, есть ограничения. Существование производной A ’ (x0) подразумевает непрерывность функции y = A (x) в точке x0. Если Дх = о, то gy=o. As в результате инкрементальный Dy, который считается функцией Dx, является непрерывным в точке Dx = o. So, согласно правилам подстановки переменных крайних соотношений, к которым относятся непрерывные функции (см.§ 5.16)、 Теперь из (9.23) он переходит к пределу Dx> 0 с помощью (9.24) и (9.25), и получается выражение (9.21). Я не уверен. Примечания 1.Выражение для производной комплексной функции (9.21) также справедливо, если под производной понимать соответствующую одностороннюю производную. Формула(9.21) имеет смысл.

• Следствие (инвариантность в виде первого дифференциала по преобразованию независимой переменной). _r = Р ’(Е) _y = Ф’_x(Хо). (9.26） В этой формуле _y = A ’(x) _x является производной функции, а _x-производной независимой переменной. Таким образом, производная функции будет иметь тот же вид. Произведение производной на переменную по «дифференциалу этой переменной» является ли эта переменная функцией или независимой переменной Давайте докажем это. Согласно формуле (9.6), это π=Φ ’(x) yx. So, если применить формулу (9.21) к производной комплексной функции, то можно сказать, что _2 = P’(y) A ’(x) yx, но A’(x) yx = yy, и поэтому _2 = P ’(y) yy. Я не уверен. Если вспомнить, что дифференциал функции в одной точке является линейной функцией для производной независимой переменной, то выражение (9.26) также можно интерпретировать несколько иначе.

Согласно (9.21), производная функции Φ (x)= P (A (x)) принимает вид φ= P ’(y) A’(x)-x. то есть, учитывая линейную функцию y = A ’(x) _x (дифференциал _ A (y = A (x))), она становится линейной функцией r = P ’(y) _y, которая определяет дифференциал rP (2 = P (y)).То есть дифференциал состава differential =Р° ° is является составом дифференциала РР и_. Е(Р°А)= гг°й А. Заметим, что индуктивная теорема 5 распространяется на суперпозицию конечного числа функций. Например, для комплексной функции в виде r (y (x (y (y))), для дифференцируемости функций r (y), y (x) и x (y) в соответствующих точках выражение г г = г г г г г х У1 У1-ых гг Чтобы обозначить производную функцию 2 = 2 (y), y = y (x), Используйте индекс x или y для обозначения переменной, берущей производную переменную.

Будет рассмотрен вопрос о том, как установить, действительно ли это уравнение определяет определенную функцию и дифференцируемо или нет. Людмила Фирмаль

• То есть, g ’ x или r часто, для простоты, штрих опущен. То есть, вместо 2’x мы просто описываем его как gx. In эти представления, выражение (9.21) имеет вид 2x=.So, производная функция u равна сумме 2 членов, и ее первые члены совпадают с производной. IU имеет производную функцию IU в предположении, что и является константой, и 2-й в предположении, что V является константой. 7.Предположим, что дифференцируемая функция y = y(x) задается неявно выражением P(x, y)=(см.§ 5.2). ( later. By дифференцирующее тождество P (x, y (x)) как комплексная функция、 _год Оригинальный _x. В качестве примера вычислите неявную производную Функция y (x), определяемая уравнением x2 + y2 = a2.In в данном конкретном случае существование такой функции является.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.	Гиперболические функции и их производные.
Производная обратной функции.	Производные высших порядков.