Дифференциал функции

Дифференциал функции

Дифференциал функции. Определение 3.Функция y = A (x), определенная в окрестности точки x∈K ((x)), называется дифференцируемой из x = x, если приращение в этой точке, то есть A, является константой 1. 1 для фиксированной точки х, постоянным является независимая количество ДХ. Конечно, при изменении точки x, вообще говоря, меняется и число А. Линейная функция a Dx (переменной Dx) называется дифференцированием функции A в точке x и представлена _A (x) или _y для краткости. Подобный этому Дх функция Дх всех ценностей, особенно Дх=определены для функции о(Дх)=Ду-АДх-это Она равна нулю в окрестности Dx =содержащей эту точку. Итак, согласно определению символа «o малый», существует функция e (Dx), определенная во всей указанной окрестности точки Dx =(отсюда и сама эта точка).

Если точка, в которой берется предел функции, принадлежит множеству, в котором берется предел, и этот предел существует, то функция непрерывна в этой точке. Людмила Фирмаль

• Потому что ограничения распространяются на весь район ( См. § 5.5). Обратите внимание, что дифференциал _y = A Dx, как и любая другая линейная функция, определяется для любого значения Dx. Это Dx+, и приращение Dy = A (x + Dx)—A (x), конечно, может быть рассмотрено только для Dx, где x + Dx принадлежит области определения функции A. В случае A ^, т. е. _y » 0, Дифференцируемость функции в точке X0 означает, что приращение функции Dy является линейной функцией DX, вплоть до бесконечного числа высших порядков, чем приращение аргумента DX. Можно сказать, что основная часть приращения функции Ду в точке Х <sup class=»reg»>®</sup> является линейной функцией относительно ДХ.

Кроме того, приращение Ду и производная _y являются эквивалентными бесконечно малыми величинами ДХ ^ (см. раздел 8.3). Если A=, т. е. _y=, то Dy = O (DX) для DX^.Следовательно, a = incremental Ду бесконечно меньше в более высоком порядке, чем дх в дх^. Для увеличения симметрии разностной записи приращение DX обозначается символом _X и называется независимой переменной difference. So разница может быть записана как _y = A_X. п Образцы. Найти производную функции y = X. В этом деле Ду=(Х+ДХ)Р-ХЗ=ЗХ2ДХ+ЗХ(ДХ)2 +(ДХ)Р. Для DX основной линейной частью уравнения справа является ZX2DX. So _y = ZX2_X. пусть F(х)= у. Если вы присваиваете значения Ду = F (х)-г, ДХ = Х-Х, _y = а (Х-Х) в (9.2、 А (х)= г + а (Х-Х)+ О(Х-Х), Х ^ Х Итак, если функция/(X) дифференцируема в точке X, если она бесконечно меньше в более высоком порядке, чем X-X, то она будет равна линейной функции вблизи X.

• Другими словами, в этом случае функция / вблизи точки X ведет себя как «почти линейная функция.» y + A (X-X), и чем меньше погрешность функции / подстановки этой линейной функцией, тем меньше разность X-X, и более того, отношение этой погрешности и разности X-X, то есть относительная погрешность, стремится к нулю для каждой функции. 276. Если функция A дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то ее производная является функцией 2 переменных-точки x и переменной _x. _y = А(х) _x. Теорема 1.To сделайте функцию дифференцируемой в определенной точке x, нам нужна производная в этой точке. В то время как _y = А ’(х) _x. 。И затем… Хм… Дуплексный<sup class=»reg»>®</sup> А то. Dh. = Ля Хм.

Дуплексный<sup class=»reg»>®</sup> о (ЛК） Dh. = А. Доказательство необходимости. Сделайте функцию дифференцируемой точкой x. то есть Ду = АДХ + о (дх), дх^ Итак, производная а ’(Х) существует и равна А. Так это _y = А ’ (х) _x. Доказательство адекватности. Сделай так, чтобы он существовал Существует производная A ’(x), то есть предел ее = = A’(x). Dх <sup class=»reg»>®</sup> ЛК И затем… | х = а ’(Х)+ е (ДХ), ДХ ^、 Где um e (Dx)=и, следовательно, DxΦ Dx <sup class=»reg»>®</sup> dx F равенство Ды = а ’(х) DX + е (ДХ) ДХ Предполагая, что e ()=здесь, мы получаем уравнение в окрестности точки x Ду=А ’(х)Дх+о(Дх), Дх^、 То есть равенство A = A ’(x) (9.2). таким образом, функция A дифференцируема в точке x. я не уверен.

Здесь мы выясняем связь между дифференцируемостью в одной точке и существованием дифференциала в той же точке. Людмила Фирмаль

• Теорема 1 подчеркивает работу с конечными производными. 277. Таким образом, Дифференцируемость функции A (x) в точке x эквивалентна существованию конечной производной AxXo в этой точке. Из вышесказанного коэффициент A определения производной (см. 9.2) определяется однозначно (то есть A = / Xho).Поэтому разность функций в определенной точке определяется однозначно. Однако это также вытекает из леммы 8.4 о единственности основной части формы. X> x0 бесконечно малой функции (x-Xo) th. По теореме 1, y ’ = _ _ X. правая часть-это дробь, в которой числитель является производной функции, а знаменатель-производной аргумента. Теоремы 1 и формулы.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Метод выделения главной части функции и его применение к вычислению пределов.	Геометрический смысл производной и дифференциала.
Определение производной.	Физический смысл производной и дифференциала.