Эквивалентные функции

Эквивалентные функции

Эквивалентные функции. Если функция A ( ) заменяется функцией c ( ), то разность/(x) c (x) называется абсолютной погрешностью, а отношение А (х)_ с（-） A (X)—произошла относительная ошибка Замена. Если вы хотите выяснить поведение функции f (x) в x> X0, рекомендуется заменить ее функцией c ( ), которая выглядит следующим образом: 1) функция c (-) в одном смысле проще, чем функция A (x). 2) абсолютная погрешность x ^ xo стремится к нулю. РМ [/(х) с(х)]=. х-хо В этом случае говорят, что c(-)приближает или приближает функцию/(x) вблизи точки x0.Это свойство принадлежит всем функциям A и c, например, бесконечно малым для x> x. Ниже показано, что среди них есть только эквиваленты друг друга. c (x) A (x), x ^ x0, а не только абсолютная ошибка A (x) c (x)、 А(х) с(х).

Может использоваться для расчета пределов, не зная заранее, существуют ли рассматриваемые пределы или нет. Людмила Фирмаль

• Однако относительный AT -) стремится к нулю при x ^ xo. = Приблизительно. 1_t а (-) с (-) х-хо А(х） В этом смысле функции, эквивалентные данной функции, имеют лучшие приближения, чем другие функции. Например, функции x, 21 x, 2x и 1oh бесконечны поскольку x> 0 мало и 8m x, абсолютная ошибка для замены 81n x на каждый, вероятно, будет равна нулю для x> 0. Он (81P х-х)= ее(Ш х-х) x-o x-o 2 = Он(81P х-2х)= К (Ш x-JX у)= О х-о Х-О Но только 1 из всех этих функций, то есть C(x)= x, имеет относительную ошибку Двести шестьдесят четыре для x ^ xo, это может быть написано с помощью символа «o small». Ф(Х) с (Х)= О(Ф(Х)), х <хо.

Сформулируйте выраженные характеристики эквивалентной функции в виде теоремы. Теорема L. к функции/. X ^ K и§. X ^ K было эквивалентно x ^ x, но необходимо и достаточно, чтобы x ^ x было условием Ф(Х)= С(Х)= О (С (Х)), Х <Х. (8.35 утра)） Доказательство. Формула (8.35) является еще одной записью в определении 3.In на самом деле, это условие(8.21). Um f(x)= 1 эквивалентно условию φ(x)= 1 + e (x).Здесь.、 х-х Ито е(х)=.Таким образом, условия х-х f (x)=φ (x) c (x), x1-mφ (x)= 1, равное условию f (x)=(1 + e (x)) c (x)= c (x)+ e (x) c (x), x1-m e (x)=, то есть условие f (x) = §(x)+ o (c(x)), x ^ x. я не уверен. икс Когда 81n x заменяется этой функцией, x ^стремится к нулю. Хм… х-о 81P X-X 81P X Хм… иксОдин икс 81P х =.

• Стремление к относительной ошибке Ф(Х) С(Х) А(х） Что ж Пример 1.С1§х = Хм… иксикс = 1. Хм… иксс ТД х 1 / х На самом деле, по теореме 1 достаточно указать, что это c1§x-1, x^.Это следует непосредственно из равенства (8.3). Если есть такой проколотый район О Точка X как / c(х). Х ^ К§. X ^ K-это не про Он исчезает на пересечении XПП (X) и X x X. Теорема 1 выполняется только в том случае, если функции f и C эквивалентны XXX、 Двести шестьдесят пять Хм… Доказательство. Если единая система обмена сообщениями§(х)= с^, тогда ум§,, (, х). = Х-Х (Х) Х-Х /(Х） Х Х Х Х Если = 1, и поэтому§ c / x> x0.Таким образом, по теореме 1,§(x)= c /(x)+ o(c /(x)), откуда (см. Конец§ 8.2)§(x)= c /(x)+ o (/(x)), x ^ x. я не уверен.

Теорема 2.Предположим, что функция/,/,§,§задана в множестве X и равна f (x)〜f(x),§(x)〜§(x) для x (x).Если он существует /(икс） (8.36） х-х§ 1(х） Икс） И Um§ ( -) существует, а далее x-x (8.37)） Оно. Доказательство. Условия A-A и§ -§, x ^ x, x€означают, что существует такая функция φ и y, определенная в окрестности V = V (xo) точки x и пересечения Xn V. А (х)=φ (х) А (х),§(х)= Г (Х)§(Х), Х∈Х V、 ИТМ F(х)= ИТМ г (х)= 1. Так… §(х) А(х)） Да, относительная ошибка. А(Х) §(Х) Γ Или、 Икс）\ Понятие эквивалентности функций по отношению к взвешиванию ние А(Х) §(Х)§(Х） X стремится к нулю. Лошадиная сила = с.^ Тогда§ c / и§(x)= Результаты. Летить х-х = с /(Х)+ О (Ф (Х)) Х> Х Х-Х-Х Икс..) F (х) А1(х） 11т = 11т ——11т Ф(Х） 11м Г(Х) Х-Х§ 1(х） .. А1(х) А1(х） 11т = деньги х-х§ 1(х) ’ э-х§(х) х-х г (х)§ 1(х） 266. То есть имеет место равенство (8.37).

Поскольку равенство с обеих сторон (8.37) равно, из теоремы доказывается, что ограничение существует на левой стороне только в том случае, если есть ограничение на правой стороне, а если есть, то оно совпадает. Людмила Фирмаль

• Единственное, что можно добавить к этому, это то, что существование предела y (x)= 1 подразумевает х<sup class=»reg»>®</sup>х Окрестность V = Ux) может быть выбрана из всех точек χ€X V так, что выполняется неравенство Y (x) Φ, и из существования ограничений на множество X (х) c(х)） Хм… Вы сможете выбрать окрестности V Х<sup class=»reg»>®</sup>х Свойство C (x) Φ, частное /(х) c(х） Вам нужно определить Кроме того, неравенства для всех x∈X V V Но на пересечении X V окрестности V множества X и точки x0.Поэтому все вышеперечисленные выражения имеют смысл. Я не уверен. Это делает его очень удобным для применения теоремы 2 в practice.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Некоторые замечательные пределы.	Метод выделения главной части функции и его применение к вычислению пределов.
Сравнение функций.	Определение производной.