Сравнение функций

Сравнение функций

Сравнение функций. Как мы уже знаем, сумма, разность и произведение бесконечно малых также бесконечно малы. Этого, в общих чертах, нельзя сказать об их идентификации. как показано ниже в примерах бесконечно малых функций a (x) и P (x) для < x>, деление 1 бесконечно малого на другой бесконечно малый может привести к различным случаям. Например, a (x)= x и P (x)= x 2; тогда В этом случае предел Hm (ax) не существует. Предполагается, что все функции, рассмотренные в этом разделе, определяются множеством X =■K. x означает либо x∈K, либо ту или иную бесконечность. если X является числом, то x Это имеет смысл только в том случае, если контакт множества X, а x-крайняя точка множества X, может быть дальше X∈X и x ^ X.

Если рассматриваемая функция имеет бесконечный предел в точке x, то последнее непременно произойдет. Людмила Фирмаль

• Если точка x равна 1 с бесконечностью, то от+до-до, множество X предполагается неограниченным, вверх или вниз, соответственно. Рассмотрим задачу сравнения функций в окрестности точек, в частности, задачу сравнения бесконечно малых и бесконечно малых функций. Эти случаи носят фундаментальный характер. Определение 1. / Для функции/. X ^ K и S. X ^ K существует постоянная c такая, что для каждой точки x∈X существует неравенство в окрестности точки X. Тогда функция/называется ограниченной по сравнению с функцией c в окрестности точки x, в этом случае、 («/(X) O, где O-c (x), а x стремится к x%). Здесь мы подчеркиваем, что обозначение x ^ x отличается от обычного значения.

Лемма 3. если f (x)=φ (x)c (x), x∈X, и существует конечный предел Доказательство. От крайности. Umφ (χ)= V (см. свойство I ограничения функции в 5.1） То есть, поскольку функция φ ограничена XÅE (x), то окрестности точки x-и(x)присутствуют, то есть неравенство для всех x∈x (x)|φ (x))| таким образом, неравенство /| = |φ (x)| c (x)| c (x)|.Это означает, согласно определению 1, f (x)=(c (x)), x ^ x. я не уверен. Образцы. 1. для x^, 1 = 0(-5） Означает, что функция A ограничена в некоторой окрестности Точка x. например, для x^, x =(1). Х2», 2 раза 11м = 2 и, следовательно, функция Точка X =. Определение 2.Если функции f (x) и c (x) являются a = O © и§= O (A) для x ^ x, они называются функциями того же порядка для x ^ x. It записывается в виде A (x) x§(x), x ^ x.

• Эта концепция наиболее значима, когда функции A и c бесконечно малы или бесконечно велики для x> x. например, функция a = x и P = x ^ 2 + 81n 1, Если x ^бесконечно мало Другой порядок Лемма 4.Если существует конечный предел= VΦ, то f(x） Доказательство. для x ^ x предел дроби определен Cx); таким образом, поскольку в окрестности точки x существует C (x), то неравенство для всех точек x∈XÅE (x) C (x) F. Для этих x поставим φ (x)= c (x).Тогда A (x)=Φ (x) c (x) и UmΦ (x)=V. следовательно, по Лемме 3 A (x)= От государства Ф такие вещи будут присутствовать Неравенство Cx) φ справедливо для всех x∈(x), находящихся в окрестности 〜и (x), и для всех x ∈ (x), (см. свойство 5.1 ограничения функции 2).

Неравенство A (x) Φ. если x∈xn H (x), y (x)=; то c (x)= y (x) A (x)） И это y (x)=V. So, согласно Лемме 3, c (x)= Например, функции A (x)= 3x и C (x)= Согласно Лемме 4, функции 3×2 и 8_n x2 одинаковы в следующем порядке: Замечание. Заметим, что условие (8.19)эквивалентно: ограниченная функция φ существует. XKK, в окрестности точки x для всех x∈X выполняется равенство A (x)=φ (x) c (x). Фактически, при этом условии ограниченность функции φ непосредственно означает неравенство (8.19).И наоборот, предположим, что условие (8.19) выполняется в окрестности точки x, и если§(x)=x (x), то f (x)=φ (X), то функция φ явно ограничена (точка x∈X в рассматриваемой окрестности точки x).

Просто чтобы показать, что рассматриваемое свойство происходит только в определенной окрестности точки x. нет никаких разговоров об ограничениях. Людмила Фирмаль

• Определение 3.Особенности. X ^ K и§. X ^ K называется эквивалентом x ^ x, если такая функция φ существует. X ^ K, уравнение в окрестности точки x для всех точек x∈X Сразу отметим, что значение функции φ вне указанной в определении окрестности не играет роли, так как наличие ограничения функции в определенной точке является локальным свойством функции. Если свойство (8.21) выполняется, то существует окрестность V = C (x) точки x, а для x€x V、 Неравенство φ (χ)^(см. предел функции 2 Раздел 5.1). если y (x)=-(m—), x€X V, то условие (8.2)и (8.21)эквивалентны условиям Так что функция.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Непрерывность элементарных функций.	Эквивалентные функции.
Некоторые замечательные пределы.	Метод выделения главной части функции и его применение к вычислению пределов.