Ограниченность непрерывных функций

Оглавление:

Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - image-10-1.png

Ограниченность непрерывных функций

Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений. В этом разделе вы найдете многочисленные приложения свойств непрерывных функций и изучите многие важные вещи. Определение 1.Функция A ’•X ^ K, X K не вызывается Если множество X является непрерывным в каждой точке, то множество X является непрерывным(см. 5.5 определения 5 и 8). Важным классом непрерывных функций является класс функций, непрерывных через интервалы на числовой оси. Начнем с непрерывной функции на отрезке. Если функция A непрерывна на интервале[a, 5], то непрерывность с x = a означает непрерывность справа, а непрерывность с x = b означает непрерывность слева в этих точках.

Очевидно, что если значение функции A является наибольшим(наименьшим), то оно является ее верхним (нижним) sup A. Людмила Фирмаль

Максимальное максимальное значение функции A (min m A) Х х A, X ^ K называется наибольшим (наименьшим) значением множества всех его значений (см.§ 3.3). (соответственно, wT A). Х х Теорема 1 (теорема Вейерштрасса).Последовательные функции в сегменте ограничены, принимая максимальное и минимальное значения. Доказательство. Пусть функция A непрерывна на интервале[a, b], M = sup A (x).Как будто сверху х б Плоскость непустого множества чисел, M либо конечна, либо бесконечна, равна+^. Указывает, что существует точка x∈[a, b], где M и A (xo)= M. 216. Ряд чисел a, n = 1, 2,…

Вы также можете использовать следующие параметры: ИТН в = М, Энн М, N = 1, 2,…. (6.1） Северный^® Согласно определению верхнего предела функции, каждая из (n = 1, 2,…В) Существует точка х€[а, б]. я * Н)К, где N = 1, 2,…. (6.2） С другой стороны, поскольку M является верхней границей функции A, все точки x∈[a, b]неравны А(Х) М.(6.3)） Последовательность{xn}ограничена. в ХП б, N = 1,2,…, Следовательно, по теореме Больцано-Вейерштрасса (см.§ 4.6) сходящаяся подпоследовательность{xKK Компьютер Это x = x. (6.4)） ® В В х / б, в = 1, 2,…тогда(почему? А) и Хо б.

То есть это точка отрезка [a, b]. Все V = 1, 2, из неравенств (6.2) и (6.3)…Неравенство а ^ а (Х^) М.(6.5） Предел подпоследовательности последовательности с конечными или бесконечными пределами равен пределу В целом sequence. So из(6.1) следует, что = ® В В M. Если вы передадите (6.5) пределу как V ^ ^、 Это A (xn)= M (6.6） ® В В С другой стороны, поскольку функция A непрерывна в отрезках[a, b], она непрерывна в точках x этого отрезка и, следовательно, из(6.4) Гм А (х)= а(Хо). (6.7） ® В В Из формул (6.6) и (6.7) получаем M = A (x). Таким образом, верхняя граница M функции A соответствует значению функции в точке x и, таким образом, оказывается finite.

So, функция A ограничена вершиной, и ее верхний предел достигается в точке X0€[a, b]. Аналогичным образом доказано, что последовательные функции в интервале ограничены дном и достигают своей нижней границы. Я не уверен. Теорема, подобная теореме 1, не справедлива для сегментов, которые не являются сегментами. Это можно легко проверить, создав соответствующий пример. Например, функция y = 1 / X непрерывна в каждой точке интервала (, 1) и не ограничена над ним одновременно. Функция y = X непрерывна по всей числовой оси и не ограничена выше нее.

Также обратите внимание, что если функция A непрерывна на другом типе зазора, а не на сегменте, и также привязана к нему сверху, она обычно не имеет максимальных и минимальных значений. Людмила Фирмаль

Например, функция y = X является интервалом (, 1), а y =ags1§ X непрерывна в целочисленной строке(непрерывность функции y =ags1§ X доказана§ 7.3), но она ограничена этими интервалами и не достигает их сверху и снизу. Упражнение. 1.Определите функцию A и сделайте ее смежной с интервалом[a, b]и A (X) для всех X∈[a, b].Тогда существует c такое, что для каждого X∈[a, b]есть a (X) c. 2.Докажите функцию A с конечным или бесконечным полупериодом[a, b), смежную с b + th, и с конечным ограничением Hm a (X) ограничивается[a, b).

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Критерий Коши существования предела функции.	Промежуточные значения непрерывных функций.
Предел и непрерывность композиции функций.	Обратные функции.