Критерий Коши существования предела функции

Критерий Коши существования предела функции

Критерий Коши существования предела функции. В этом разделе, по аналогии со случаем последовательности, мы получаем необходимое и достаточное условие, что функция имеет конечный предел в данной точке x. Ho — это контакт для определения набора рассматриваемых функций. Теорема 5 (критерий тренера). Для функции A X ^ K имеет конечный предел X, и для любого e необходимо и достаточно, чтобы для любого X∈P (X) и окрестности X, такие как X€П (X) ПX (X), существовали. Неравенство. | /(Х»)а(Х ’)| е. Доказательство необходимости. Пусть X ^ K и Um A (X)= A€K. Это e X<sup class=»reg»>®</sup>X.

Как и прежде, точка Хо означает либо реальное, либо бесконечность, либо это. Людмила Фирмаль

• Окрестность такой точки X П (X) является неравенством для каждого X∈(X) неравX | А(Х) а|/. (5.71） Х €П (Х) Х Х и х€П (Х) X. By затем(5.71)、 | А (Х»)а (Х)| = | [а (Х»)-А] + [А-А(х)] | | A (X») a | + | a-A(X’) | / + 2 = E. я не уверен. Доказательство адекватности. Пусть функция A X ^ K, для любого e, потому что существует окрестность H (X) X、 Х €Н (Х) П Х, Х » €П (Х) П Х, (5.72） Двадцать одни Неравенство сохраняется. | /(х»)/(х ’)| е.(5.73） Это подразумевает существование конечного предела в точке x функции x. последовательность xn∈X, n = 1, 2,…、 Итэ хп = х(5.74） П. У. определить е при необходимости. Поэтому, согласно сделанным предположениям, e имеет окрестность H (x0) точки x, удовлетворяющую условию (5.72)-(5.73). По условию (5.74), в этой окрестности H (x0) существует n∈€, все nn, n∈, xn∈X для xn∈€(x), поэтому xn∈ P X, n = n + 1, n + 2,….

• Итак, рассмотрим (5.72)-(5.73) для всех n и всех m n. То есть числовая последовательность {/(xn)} удовлетворяет критерию Коши числовой последовательности (см.§ 4.7) и таким образом сходится. Так что для каждой последовательности xn∈X、 n = 1, 2,…, Это xn = x, последовательность {/(xn)} сходитсян<sup class=»reg»>®</sup>ш Ши. Из этого, как известно (см. 5.6 лемму 4), следует наличие конечного предела Itm A (x). Я не уверен. х<sup class=»reg»>®</sup>х если x-число, то условие Коши можно сформулировать следующим образом: 8 существует для любого e, и любые x ’ €X и x ’€X удовлетворяют условиям / x’-x| 8, / x’-x / 8, неравенство | /(х«)/(х ’)| е.

Следует отметить, что все эти критерии существования ограничений функций, которые относятся к различным случаям и имеют различные формулировки, получают доказательства, которые объединяются хорошо подобранными терминами (понятиями окрестности). Людмила Фирмаль

• Для условия Коши можно дать следующий вид: 8 существует для любого e, и любые x ’€X и x «€X удовлетворяют условиям| x’ / 8, | x »/ 8, выполняется неравенство| /(x«) / (x’) / e. В случае односторонних ограничений условие Коши можно перефразировать без термина «окрестности» следующим образом: Для любого e существует p (p x, если ограничение находится слева, p x, если ограничение находится справа).Каждого х ’€X ’и Х’ €Х ’состояние п х х п х х и Х Х р х х п, неравенство| /(х»)-/(х ’)| е.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Классификация точек разрыва функции.	Предел и непрерывность композиции функций.
Пределы монотонных функций.	Ограниченность непрерывных функций.