Пределы монотонных функций

Оглавление:

Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - image-10-1.png

Пределы монотонных функций

Пределы монотонных функций. Определение 16. Функция A называется увеличением (уменьшением) в множестве X, для X1×2 и неравенств A (X) a (x2) A (X) точки x1∈X и x2∈X(соответственно, неравенство A (x) A (x2)). Функцию увеличения (уменьшения) также можно назвать неубывающей (не увеличивающейся). Если функция увеличивается (уменьшается) в множестве X, то также говорят, что функция увеличивается (уменьшается) в этом множестве. Если функция A увеличивается (уменьшается) в множестве X, функция-A получает от A путем изменения всех знаков. Значение, т. е. (A) (x)= A (x), x∈X является функцией, которая уменьшается (увеличивается) в X.2 4

Функция, возрастающая или убывающая в множестве X, называется монотонной в этом множестве. Людмила Фирмаль

Теорема 4. Пусть функция A, X ^ K растет с множеством X, a = mT X, P = vir X, а затем a $ X, P $ X. Тогда функция точки A имеет предел справа、 Это A (x)= _nT A (X), точка P имеет предел с левой стороны、 Х®Х е х Гм А (х)= ’ ИС(х). х ® П Х е х Итак, если функция A ограничена вершиной по условиям теоремы, то точка P имеет конечный предел. Слева, если A не ограничено выше, um A (x)= + тогда. X®P Аналогично, если функция A ограничена снизу, то существует конечный предел справа в точке a, и если A Um A (x)= to, Если ограничено: х®а Аналогичное утверждение относится и к редукции функций. Они могут быть получены путем перехода от функции A к функции-A. Результаты.

Если функция является монотонной на множестве X、 Хет X∈K, множество X (x)= {x. x€X, x x}и X (x)= хет^ «,、 = {x. x€X x) не пусто, x-точка касания каждого из них, точка x имеет конечный односторонний предел A (x -) = 8ir A (x) и A (x+) = mT A (x), (5.6） Х(Х) Х(Х） Кроме того, если вы хотите увеличить функциональность А(Х) А (х+), (5.61） Для функции уменьшения А(Х) А (х+). (5.62） Доказательство теоремы. б = 8pir А(х) и Икс P = 8ir X, P $X. дайте произвольную окрестность точки b П (b), и пусть p-ее левый край. Очевидно, что по определению верхнего предела p b, а следовательно, и функции, существует следующая точка X∈X: А (Х) Р, (5.63)） Существует также условие X€X, где P = 8ir X и P $ X, где X P.

Обозначим через H (P) окрестности точки P, где X-самое левое (то есть если P-действительное число, то расстояние H (P, e)=(P-e, P + e), e = = P-X, а если P = + th, то самое левое (X,+ then) из бесконечного полупериода. х€X р р (р) (5.64 м)） Выполняется неравенство X(рис. 27). таким образом, по возрастающей функции/ оно становится неравенством/(X) A (x). таким образом, для каждого x (5.64), удовлетворяющего условию、 П А (х) с SUP А( х) = B (5.65） (5.63) х Напомним, что точка p находится слева от точки H (b) в окрестности точки b, и из (5.65) мы получаем включение A (x)∈H (b). таким образом, для любой окрестности H (b) из b окрестность H (P) точки существует, как только включение a (x)∈H (B) становится x∈€hh (p).Это Что um A (x)= b = sup A(x). Н ® П Х Аналогичным образом, вы можете доказать Im /(x)= m4 A (x). Я не уверен. н®х Доказательство, конечно. Чтобы было понятно, увеличить функцию на Х и Х делают точка соприкосновения в непустой набор X(со)И Х(со).

Тогда неравенство а (х’) а (Х’) имеет, вне зависимости от точки Х€Х (со) И х ’ €х (хо).Так, функция ограничена на число А (х’) на множестве X(х0), и ограниченное число (х’) ниже заданного х (хо). 8ir A (x) A(x’), 1P7 A(x) A (x’).(5.66） Х (Икс) х(хо） таким образом, оно передается на нижнюю границу значения функции правого множества X (xo、 8ir A (x) 1P7 A(x). (5.67） Х (Икс) х(хо） 28-29 августа. Согласно теореме 4, это завершает доказательство индукции, поскольку существует предел на a (x -) слева и A (x+) справа. / (Хо -)=воздух/(х),/(хо+) = м! /(икс） Х(Х) Х(Х） Таким образом, неравенство(5.61) совпадает с неравенством(5.67). 1.In теорема 4, функция A. поскольку X ^ K увеличивается, m! X = A $ X и sup X = P $X.

В частности, показанные верхняя и нижняя поверхности конечны, и первое неравенство справедливо для любой точки χ. Людмила Фирмаль

Однако, например, для A€X, для любой (немонотонной) функции, здесь 2 Случай. Если предел /(Х) существует, то функция х®х е х Непрерывным в точке а(рис. 28) или несуществующие(рис. 29).Аналогичная ситуация наблюдается и в пункте п. Примечания 2.Из элементарной математики функция является А (р)= АР,, (5.68） Где r-рациональное число, а r€^монотонно на множестве Все рациональные^(см. также§ 2.6).Для каждого действительного числа x множество рациональных чисел r x, r x не пусто, и x является их точкой соприкосновения. Таким образом, согласно следствию теоремы 4, существуют ограничения It ag и Hm ag в действительном числе x、 г®х-г®х + r€^(набор рациональных чисел.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Различные формы записи непрерывности функции в точке.	Критерий Коши существования предела функции.
Классификация точек разрыва функции.	Предел и непрерывность композиции функций.