Различные формы записи непрерывности функции в точке

Различные формы записи непрерывности функции в точке

Различные формы записи непрерывности функции в точке. Условие непрерывности точки x (см. 5.18 функции / определенной в множестве X) может быть понято как смыслом определения пределов функции согласно Гейне (см. Определение 5.4 1), так и смыслом Коши (определение 7 9).в первом случае это для любой последовательности Во 2-м случае это означает, что для каждого e существует 5 условий для каждой точки x | x-x | 5, 6 x, (5.5） Неравенство (рисунок 25） | /(х)-/(х)| е.(5.51)） Понятие непрерывности функций, сформулированное с точки зрения последовательности (определение (5.48)-(5.49)), отражает ситуации, с которыми мы фактически сталкиваемся при вычислении величины y косвенно. у= А (х).

Эта сумма находится в постоянной зависимости. Людмила Фирмаль

• Знание непрерывности функции y = f (x) в точке x дает объективную гарантию более точного приближения величины xn (в результате экспериментов, измерений или расчетов), а более точным является соответствующее приближенное значение величины y = A (x). Определение непрерывности в функции / x (5.5)-(5.51) также можно перефразировать следующим образом: независимо от того, какая точность e задана значению функции/, аргумент имеет точность 5 = 5(e), и как только вы выбираете значение аргумента x, вы получаете значение A (x), которое смежно с x, то есть удовлетворяет условию (5.5), и получая значение функции f (x), вы получаете значение неравенства (5.51).Это утверждение, конечно, является парафразом определения (5.5)-(5.51) и проясняет интуитивную идею непрерывной функции.

Поскольку непрерывность функции в точке является частным случаем существования предела функции, определение непрерывности функции в точке может быть дано относительно окрестности; просто добавьте условие X0∈X к условию (5.2). в точке X0 для окрестности H (y) точки y = /(X), если существует окрестность H (X) точки X、 / № ) ПX) и ЩУ), х € X. (5.52） Наконец, перенесите константу A (X) в левую часть с уравнением (5.18), введите ниже символ предела и убедитесь, что обозначение X ^ X предела функции эквивалентно обозначению X-X ^(см.§ 5.4), и получите его. Разность X-X называется приращением аргумента, обозначаемого LX. разность/(X) A (X) это приращение функции y = A (X), соответствующее этому приращению аргумента LX, обозначаемого y. как это Топор = Х-Х, У = /(Х + ах)-а(Х), Х€Х, Х€.

• То есть непрерывность функции в одной точке означает, что минутное приращение аргумента соответствует минутному приращению функции. Таким образом, для любой окрестности E точки A (x0) (A (x0)) существует окрестность E точки x0 (x0) 、 А (Е (Хо) х) и Е(А(Хо)). (5.58） Но очевидно, что на левой стороне включения (5.58) вы можете заменить проколотую окрестность E (xo) нормальной окрестностью E (xo), потому что это a (xo)€E (A (xo)). А (Е (Хо) х) и Е(А(Хо)). Это означает, что функция A непрерывна в точке x0. 3.Функция A (x)= | (см. рис.22) не является непрерывной в точке x=, поскольку нет предела (по всей числовой оси) для этой функции в точке x =(см. Пример 5 точки 5).

Упражнение. 8.Исследуйте с достаточной точностью, чтобы установить значение аргумента функции xP в заданной точке x, чтобы получить значение функции с заданной точностью e. 9.Функция является Точка X = последовательно. До сих пор в качестве примера функции, которая определена в сегменте и имеет разрывы, мы рассматривали функцию с конечным множеством разрывов(например, функция y = 8nn x имеет 1 разрыв x =в интервале[-1, 1]), или множество разрывов совпадает со всем сегментом (дирикреляция).Вот пример функции с бесконечным множеством разрывов, которая не соответствует всему сегменту, где задана функция.

В некоторых случаях полезны условия непрерывности функций в точках, основанные на соображениях ограничений функций в проколотых соседях. Людмила Фирмаль

• Пример 4.At каждая рациональная точка r =((τΦ) ненулевых отрезков [, 1], пусть функция A равна 1, n∈U. In другими словами, ноль и абсурд. Эта функция называется функцией Римана. Функция A прерывна в каждой рациональной точке, rΦ.To такими точками являются иррациональные числа Xn, n = 1, 2, которые, согласно определению функции, обращаются в R… Это происходит потому, что существует последовательность events. At все иррациональные точки, ноль указывает на то, что функция Римана непрерывна. Пусть число X будет нулевым или иррациональным.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Свойства пределов функций.	Классификация точек разрыва функции.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.	Пределы монотонных функций.