Второе определение предела функции

Второе определение предела функции

Второе определение предела функции. Существует еще одно определение ограничения functions. It формулируется с точки зрения окрестности, а не с использованием понятия ограничения последовательности, и называется определением ограничения функции Коши. Это определение эквивалентно 5.4 определению 1. Определение 9.Если существует U (x) вблизи x в окрестности точки a В C (a), то точка a называется функцией X ^ x a, пределом X ^ K (или эквивалентно точкой x A (XПP (x)) и P(a). (5.2)） Пределы функции Коши также обозначаются через нее A (x).Это естественная вещь. Потому что понятие ограничения функций Коши эквивалентно определению ограничения функции, упомянутому ранее в разделе 5.4, как только оно будет доказано, как описано выше.

Определение 9 можно перефразировать в терминах неравенств в каждом конкретном случае, вспомнив определение окрестности конечных и бесконечных точек. Людмила Фирмаль

• Сто семьдесят девять На рис. 23 показано определение 9, где x и a-действительные числа, а множество X-проколотая окрестность точки X Используя логические символы, определение 9 может быть записано следующим образом: ИТ /(х)= А + В У (А) 3 U(х) /(XЩU (х)) и U(а). Если расшифровать включение (5.2) более подробно, то определение 9 можно сформулировать следующим образом: Точка a называется пределом функции A. Если окрестность X U (x) существует для x ^ x, то любая окрестность U (x) a x€XПЩ (х) (5.21） Включение питания А (Х)€У (а). (5.22） О! Это A (x)= a V U (a) 3 U (x) V x€x u (x). А (х)€ща). (5.23） Используя логические символы, это определение можно записать следующим образом:

Во-первых, в этой форме, мы формулируем определение конечного предела в конечной точке. Число a называется пределом функции A в точке x∈K、 Если 8 1 существует для любого e и все x удовлетворяют условию| x-x / 8, x∈X, то неравенство\ A (x) A / E. Один Чтобы подчеркнуть, что выбор 8 зависит от e, иногда пишут 8 = 8 (e). Восемнадцать В логическом символе это определение является: ИТ /(х)= а€к Ее. * Ve3 8OV x€X,| x-x / 8. / F(х) а | э. В частности, если функция / непрерывна в точках x0€X =■K и a = f (x0) (в этом случае x0 и a являются числовыми), то определение непрерывности символьного представления будет иметь вид: Ему (х)= а(Хо） » «V e 3 8 0 V x€X,| x-x / 8. | /(х)-/(х)| е. Вот пример определения бесконечных пределов в терминах неравенств.

• Особенности. X ^ K означает, что 8 существует для любого e, и неравенство A (x)-e выполняется для всех условий 8, x∈X. Используя логические символы, это определение записывается следующим образом: ИТ /(х)=». V e 3 8 V x€x 8. А (х) е. Часто более удобна в определенных ситуациях, но в отношении неравенств, или как часто говорят на языке е или 8%, формулировка определения пределов функций отдельного случая менее пригодна для решения общей задачи, чем определение пределов функций окрестности, поскольку согласно этому определению требуются специальные доказательства, поэтому удобнее использовать определение 9, которое охватывает все конкретные случаи.

Далее мы переходим к сравнению определения ограничения функций Гейне (определение 1) и коши (определение 9).Теорема 1.Определение пределов функции при контакте набор определений для 1 и 9 функций эквивалентен. Доказательство. Во-первых, если существует ограничение на точку, в которой функция является значением определения 1, то в этом отношении мы докажем, что такое же ограничение существует и в значении определения 9. X ^ K, x-точка касания Множество X и Um f (x)= a в смысле определения 1.Условие справа от выражения (5.23)также выполняется. Предположим, что это не так, то есть 3 P (a) V P (x) 3 x€P P (x). Ф (Х)€р(а), (5.24)） Или, другими словами, в любой окрестности H (x0) точки x0 существует такая окрестность C (a) точки a, что существует точка x∈X, где значение функции f (x) не принадлежит окрестности C (a).в частности, существует точка x Каждая окрестность V ^ x0, I ^.

Исходя из вышесказанного, возможны различные комбинации переходов к предельным значениям (как конечным, так и бесконечным) зависимых и независимых переменных. Людмила Фирмаль

• Покажите их в xn. X Y€xvv (хо, п), (5.25)） А (хп)€В (а), п = 1, 2,…. (5.26） Из условия (5.25) Это xn = x(5.27） северный<sup class=»reg»>®</sup>» (См. Примечание 4.2 к§ 1). В смысле этого /(x)= a Определение 1, то любая последовательность xn> x, n = 1, 2,…Равенство It / (xn)= a выполняется. В соответствии с северный<sup class=»reg»>®</sup>» Определение ограничения последовательности, которое означает, что для любой окрестности (a), особенно для окрестности, выбранной выше, все числа ETA% А (хп)€Р(А). (5.28)） Это противоречит условию (5.26).Полученное противоречие доказывает, что заявление было сделано. Я не уверен. Сейчас мы это докажем.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Непрерывные функции.	Предел функции по объединению множеств.
Условие существования предела функции.	Односторонние пределы и односторонняя непрерывность.