Критерий Коши сходимости последовательности

Критерий Коши сходимости последовательности

Критерий Коши сходимости последовательности. До сих пор нам не был дан достаточно общий критерий, по которому мы могли бы узнать, сходится ли данная последовательность. Определение последовательности сходимости само по себе неудобно для этого, потому что оно содержит значение предела, которое также неизвестно. Поэтому желательно иметь такой критерий для определения сходимости и расходимости последовательности, основанный только на характеристиках элементов данной последовательности. Следующий теорема 5 показывает аналогичный критерий. Определение 14.если ε> 0, то последовательность{xn}удовлетворяет условию Коши 1, если условия n> ne, m> ne, и существует число ne для всех чисел n и m, удовлетворяющих неравенствам.

Последовательность, удовлетворяющая условию Коши, также называется базовой последовательностью. Людмила Фирмаль

• Используя логический знак, условие Коши описывается следующим образом: V e > около 3 pe€N V p€N V t€N, n > ne, m> ne:| xn-xm / <e. Условие (4.3 O) также можно сформулировать следующим образом:если e> 0, то существует число ne, такое как все числа n> ne и все неотрицательные целые числа p. \ хп + Р-xn1 <е.(4.П1） Для проверки равенства условий (4.3 O) и (4.31) достаточно p = n-m для n> m и p = m-n для M> n. Теорема 5(критерий коуча).д Доказательство необходимости. Последовательность{xn}сходится, предполагая, что она xn = a. e > установлена в 0. Тогг северный<sup class=»reg»>®</sup>» Да, согласно определению ограничения последовательности, все числа n> ne Неравенство| хп-а | <. Здесь n> ne и m> ne. И затем… | х-ХВ | = |(ХВ-а)+(а-ХТ)| < / ХV-а / + / Хм-А | < / ^ = Е、 То есть условие Коши выполнено. Доказательство адекватности.

• Предположим, что последовательность удовлетворяет условию Коши. То есть, если ε> 0, если ne существует, и если n> ne и m> ne、 10.Коши (1798-1857) французский математик. Сто шестнадцать например, e = 1; n> n <и m> N <существует так, что неравенство\ xn-xm | <1 равно satisfied. In в частности, если n> n <и m = n <+ 1、 Ixn < xn + 11 <1 m-xn <+ 1″ << xn <xn1 + 1+ 1 PR и n > n1Это последовательность xn, n = n1 + 1, n1 + 2,…Это означает, что это так bounded. So, по теореме 4, существует сходящаяся подпоследовательность{x}. Пусть xn = a. вся последовательность →К Плотность{xn}также сходится и имеет ограничения. установите ε> 0.Затем, с определением ограничения последовательности, существует ke для каждого числа V> ke или для всех тех же nk> nk в соответствии с определением подпоследовательности. е Неравенство / xn-a / <2.

Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно выполнить условие Коши. Людмила Фирмаль

• Во-вторых, поскольку последовательность {xn} удовлетворяет условию Коши, все ETA> ne е И все m> ne, неравенства| xn-xm / <2. Установите Pe = max {ne, pc}и исправьте некоторые pc> Pe. Тогда для всех N> Пэ、 1. 1xn-А1 = 1(хп-х «к)+&Х» К-а = ми <| х»-х» » К1 «+ 1х » к-А1 <2 + 2 Это доказывает, что это xn = a. я не уверен. UL + 4ЖД / D0R. сформулируйте положительное необходимое и достаточное условие отрицания критерия Коши, чтобы в последовательности не было ограничений. ^ 2.Для сходимости последовательности{xn}существует e для ε> 0 и неравенство / xn-xn / <e для всех η> ne. Выпуск 3.Выясните, следует ли сходимость последовательности{xn}за условием, что существует предел на любое положительное целое число p.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Монотонные последовательности.	Бесконечно малые последовательности.
Теорема Больцано—Вейерштрасса.	Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями.