Теорема Больцано—Вейерштрасса.

Теорема Больцано—Вейерштрасса.

Теорема Больцано—Вейерштрасса. 4.4 доказано, что все последовательности сходимости ограничены. Конечно, обратное неверно. Например, последовательность xn =(-1)», n = 1, 2,…расходится в ограниченном виде. Однако вы можете видеть, что все ограниченные последовательности содержат сходящиеся подпоследовательности. Это утверждение называется теоремой Больцано-вейерштрассе 1 или компактным свойством ограниченной последовательности. Теорема 4. Доказательство. Последовательность{xn}ограничена, то есть все n = 1, 2,…Предположим, что существует сегмент[a, b], такой, что это xn b для a.

Из любой ограниченной последовательности сходящуюся подпоследовательность можно отличить от любой неограниченной последовательности, бесконечно большой подпоследовательности с ограниченной бесконечностью определенного знака. Людмила Фирмаль

• Разделите сегменты[a, b] на 2 равных сегмента. Опять же, по крайней мере 1 из полученных сегментов содержит бесконечное число членов исходной последовательности. [А2, В2].Сегменты[a2, b2]имеют члены X, которые являются x∈[a2, b2]и n2 n, потому что члены последовательности{xn}бесконечны. Если вы продолжите этот процесс, вы получите последовательность сегментов[ay, b].Каждый последующий является половиной предыдущего отрезка, и последовательность таких элементов задается xn 1 Б. Больцано (1781-1848) чешский математик. Сто тринадцать Последовательность x€[ak, bk\, k = 1, 2,…И ПК » ПК «к» к «.Последовательность{x}в своей конфигурации является подпоследовательностью последовательности{xn}.Покажем, что эта подпоследовательность является сходящейся. Последовательность отрезков[ak, bk], k = 1, 2,…, Является последовательностью вложенных сегментов, длина которых стремится к нулю, потому что в случае k ^ x bk-ak = b k ^ 4.

• Согласно принципу вложенных сегментов (см.§ 3.7), существует единственная точка X, принадлежащая всем этим сегментам. segments. As отмечено в примечаниях 3 2 теоремы , последовательность{x}также сходится, и она xn = X. к<sup class=»reg»>®</sup>ж к Затем сделайте последовательность{xn}неограниченной. Тогда она либо не ограничена сверху, либо не ограничена снизу, либо both. To будьте ясны, я бы предположил, что последовательность{xn}не ограничена вершиной. Тогда будет число n∈DO, которое будет x 1. Очевидно, что последовательность xn, n = n + 1, n + 2,…Заданную неограниченную последовательность xn, n = 1, 2, отбрасывая конечное число ее members…

It также не ограничивается вышеизложенным, потому что он взят из above. So существует n2 n1, n2€DO, как X 2. Продолжайте этот процесс, n1 n2… персональный компьютер… И получите набор числовых ПК, таких как x, x, x и X. 2,… с самого начала xpc….So{x}является подпоследовательностью последовательности{xn}, и согласно результату свойства II в разделе 4.3, Hmxn = + x. 2-е утверждение теоремы 4 может быть уточнено. Доказательство теоремы 4, Если последовательность не ограничена выше、 +Есть суб-последовательности, которые склонны к этому.

Если данная последовательность ограничена, то каждая последовательность имеет по крайней мере один частичный конечный или бесконечный предел, который, безусловно, конечен. Людмила Фирмаль

• Определение 13.Ограничение подпоследовательности определенной последовательности, конечной или бесконечной, определенного знака называется ее частичным ограничением. Сходство теоремы Больцано—Вейерштрасса (первая часть теоремы 4) и неограниченной последовательности (вторая часть теоремы 4) имеет вид、 Таким образом, каждая числовая последовательность{xn}, xn∈K, имеет по крайней мере 1 частичный предел на расширенном наборе действительных чисел. То есть частичное множество K в последовательности не всегда пусто. Упражнение. 9.In чтобы последовательность сходилась, она доказывает, что последовательность ограничена и имеет единственный частичный предел, который необходим и достаточен. 10.Элемент a (Число знаковой бесконечности или+ Th или th) оказывается частичным ограничением последовательности только в том случае, если в любом из ее соседей имеется бесконечно много членов данной последовательности.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Ограниченность сходящихся последовательностей.	Критерий Коши сходимости последовательности.
Монотонные последовательности.	Бесконечно малые последовательности.