Монотонные последовательности.

Оглавление:

Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - image-10-1.png

Монотонные последовательности.

Монотонные последовательности. Определение 10.Верхняя (нижняя) грань множества значений элементов последовательности{xn}называется верхней (нижней) гранью этой последовательности, и если верхняя (нижняя) грань является числом, то это определение можно сформулировать следующим образом: определение 11.Число a-это последовательность xn, n = 1, 2,…верхней (нижней) части если. 1) Все η= 1, 2,…Выполняется неравенство xn a (неравенство xn a). 2) для e 0 существует число ne, такое как xn a-e (xn a + e, соответственно). Аналогично, если указанная грань бесконечна, можно сформулировать определение верхней (нижней) грани последовательности. (Делать） Обратите внимание, что в качестве примера sup {1 / ha} = 1, tt{1 / ha} = 0, sup {n} = + th, tt{n} = 1. ..Определение 12.Последовательность{xn}, где каждое η= 1, 2,…Если неравенство xn xn + r выполняется(соответственно, неравенство xn xn + 1) 1, то оно называется последовательностью увеличения (уменьшения).

Последовательность восхождения и нисхождения называется монотонной. Людмила Фирмаль

Теорема 3 (теорема Вейерштрасса).Возрастающая числовая последовательность{xn}является конечной, если она ограничена вершиной, и бесконечным пределом, равным+^, если она не ограничена вершиной. ИТН хп = ВИР {хп}. (4.21） северный®» 1 последовательность увеличения (уменьшения) также называется не-уменьшением (не-увеличением). Два К. Вейерштрасс(1815-1897) немецкий математик. 109. ^(П） P’N0 P Рисунок 12 Аналогично, каждая убывающая числовая последовательность{xn}имеет предел, который конечен, если эта последовательность ограничена ниже, и бесконечен, если она равна-J. Кроме того, нет никаких ограничений из следующих Хп = 1П! {хр}. (4.22） н®ш Доказательство. Увеличивает последовательность{xn}.Докажем равенство (4.21).Остальные утверждения теоремы об увеличении последовательности вытекают из нее очевидным образом.

Пусть P = sup {xn} (значение P либо конечное, либо бесконечное, равно+ равно).Возьмем произвольную окрестность H (Р) точки Р, и его левым краем обозначается P(Рисунок 12).П р очевидно. Согласно определению верхнего предела. 1) любое число n€n неравенство Хр Р; (4.23） 2) существует следующее число n0 Xn0 Р ’. (4.24） Равенство. P’XP xp R、 (4.24) по каждому пункту (4.23） (4.25 )） Так как последовательность{xn}увеличивается, начиная с(4.23) и (4.24), относительно всех чисел η икс н € (4.25 )） ЩР） Так что для n, включение Это означает, что P является ограничением последовательности{xn}. Рассматривается также случай убывающей последовательности. Я не уверен.

Примечания: 1.Поэтому все Монотонные последовательности имеют ограничения. Конечна, если ограничена, или бесконечна, если не ограничена. Этот предел равен+ равно, если монотонная последовательность не привязана к вершине, и-Ж, если она не привязана к нижней части. Сто десять Поскольку все подпоследовательности в монотонной последовательности также монотонны, всегда существуют конечные или бесконечные пределы в порядке, и это, очевидно, совпадает с ограничением всей последовательности(см. лемму 4.3). Показано, что если последовательность сходится, то она ограничена (теорема 2).Таким образом, она становится ограниченной сверху, особенно если возрастающая последовательность сходится.

С другой стороны, если возрастающая последовательность ограничена вершиной, то она будет сходиться (теорема 3). Людмила Фирмаль

Таким образом, верно следующее утверждение. Results. In для того чтобы возрастающая последовательность сходилась, необходимо и достаточно быть привязанным к вершине. Аналогичное утверждение применимо и к убывающим последовательностям. Примечания 2. если {[an, bn]} это система вложенных сегментов, которая стремится к нулю по длине, а X-точка, принадлежащая всем сегментам конкретной системы, то это так.、 Х = Хм собой = ИТМ млрд. (4.26） н® » ®б» Фактически,§ 3.7 указывает, что X =Air{ap} = m. {B}.С другой стороны, последовательности{an} и{bn}увеличиваются (уменьшаются) на равенство (4.21) и (4.22) соответственно (4.26).Если перейти от n к N + 1 в сумме (4.27) в правой части уравнения, то число всех положительных членов будет увеличиваться, кроме того, каждый член, начиная с 3-го, будет увеличиваться.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Переход к пределу в неравенствах.	Теорема Больцано—Вейерштрасса.
Ограниченность сходящихся последовательностей.	Критерий Коши сходимости последовательности.