Арифметические свойства верхних и нижних граней.

Арифметические свойства верхних и нижних граней.

Арифметические свойства верхних и нижних граней. Семьдесят пять X, Y, U Во-первых, мы определяем такую операцию. Арифметическая сумма набора чисел X1 + … + Хп… Xn, x = x + … + xn, x∈X,… это множество всех чисел x, которые могут быть выражены в виде xn∈Xn. Арифметическая разность X-Y в числовом множестве X и Y представляет собой множество всех числовых значений r и может быть выражена в виде r = x-y, x∈X, y∈. Конечно, арифметическая сумма х + … + Понятие XN и разность X-Y, теоретико-множественная сумма (sum) X Y … Различие одного и того же множества с Y Xn следует отличать от понятия X \ Y. Произведение числа 1 на 1X и набора чисел X представляет собой набор всех чисел в виде 1x, x∈X. Произведение 2-х множеств чисел X и Y X Y есть множество чисел r, которое может быть выражено в виде r = xy, x€.

Рассмотрим 4 свойства верхней и нижней сторон множества, которые связаны с арифметическими операциями над набором чисел. Людмила Фирмаль

• Первое свойство. 8ir(Х1 + … + Хп) = SUP и Х + … + 8ir хп(3.6） ЛН ^(Х1 + … + Хп)= Х1 + … + м * хп. (3.7） 2-е свойство. 8ir (X-Y)= 8ir X-1P7 U.(3,8)） Давайте докажем первые характеристики. Х∈Х1 + … + Хп, т. е. X = Х1 + … + хп, Х1∈х,…для xn∈Xn, xk 8ir Xk, V = 1, 2,. .. …N, и, следовательно, х = Х1 + … + хп 8ir Х1 + … + 8ir хп. (3.9)） Если 8ir Х1 + … + 8ir хп, (3.10)） Тогда любое k = 1, 2,…, для n существует число yk, такое как: Yk 8ir Xk, k = 1, 2,…Н У1 + … + уя = у. (3.11). На самом деле, 8ir X1,…Если, 8ir Xn, все верхние грани конечны, то: Ык = 8ir ХК-8irX1 + … + 8irXn-й. н Тогда У1 + … + уя = у. Топ-8ir Х1,…, Если 8ir Xn имеет по крайней мере 1 равный+ Семьдесят шесть Например, Xn=+^, то y,…, yn _ как и любой числовой yvir xx, X = 1, 2,…число для n-1, yn Уя Г &Г-1 + … + УП-1). В этом случае yn = sup Xn, и, очевидно, y1 + … + уя = г、 То есть условие (3.11) снова выполняется. Из неравенства (3.11), XK€Xk существует、 Ык ХК ВИР ХК, к = 1, 2,…н. х = Х1 + … если вы установите + xn, это выглядит так х€ХХ + … + Хп,(3.12） х = ХС + … + хп У1 + … + уя г. Аналогично доказывается формула (3.7).

• Докажем 2-ю характеристику. Для 2€X-Y, т. е. 2 x€X, y€Y, x vir X, y Y Y, следовательно= x-y、 2 = х-y ВИР х-1n7 у (3.13） Если 2G sup X-1n7 U, (3.14） Есть такие цифры 21 sup X, 22 1p7 U, (3.15） 21-22 2.Такие 21 и 22 существуют по неравенству (3.14) как тогда, когда плоскости sup X, m4 конечны, так и тогда, когда одна или обе из них бесконечны. Из неравенства (3.15) следует, что число x∈X и y∈Y существует、 21 X sup X, 1p7 U в 22(3.16） В результате x-y€X-Y и х-м 21-22 2.(3.1). 3-е свойство. / sln 1 0, то суп 1Х = 1 вечерять х, 1Х = 1 х, (3.18） Семьдесят семь И если 1 равно 0、 суп 1Х = 1Т! Х, Т! 1 х = 1 х суп (3.19） Докажем первое равенство(3.18). Скажем 1-0.для г€1Х, то есть, для г€1х, х€X, и поэтому для 8ir Х Х、 г = 1×1 supX. для y1 sup X, то есть 1 8ir X、 Х∈Х, Х 1, и поэтому 1х Г, это 1х€1Х.

Теорема о наличии верхней и нижней поверхностей указывает на 2 важных свойства вещественных чисел, Принцип 1 так называемого Архимеда и принцип вложенного отрезка. Людмила Фирмаль

• Таким образом, 18ir X является верхним пределом множества XX. то есть первое равенство (3.18) доказано. Доказано также 2-е уравнение(3.18). Вот он, 1 0.если y∈1X, то есть если y = 1x, то x∈X, то есть x m! X, то 1×1 t! Х. г 1 т! Икс То есть, 1 1n! X, то x∈X, поскольку X существует, x Г 1х, 1х€1Х. Это означает, что 1 тонна! X-вершина множества 1X. доказано первое равенство (3.19). 2-е уравнение также будет доказано (3.19). Я не уверен. 4-е свойство. Если все числа в множествах X и Y неотрицательны、 8ir ХV = 8ir х 8ir г, т! ХV = Т! Х Т! Соединенные Штаты Америки (3.20)） Доказательство этого свойства осуществляется таким же образом, как доказательство 3 свойств перед верхней и нижней поверхностями набора и предоставляется читателю.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Ограниченные и неограниченные множества.	Принцип Архимеда.
Верхняя и нижняя грани числовых множеств.	Принцип вложенных отрезков.