Реферат на тему: Теорема Пифагора

Оглавление:

У вас нет времени на реферат или вам не удаётся написать реферат? Напишите мне в whatsapp — согласуем сроки и я вам помогу!

В статье «Как научиться правильно писать реферат», я написала о правилах и советах написания лучших рефератов, прочитайте пожалуйста.

Собрала для вас похожие темы рефератов, посмотрите, почитайте:

Введение

Трудно найти человека, который бы не ассоциировал имя Пифагора с пифагорейской теоремой. Наверное, даже те, кто навсегда в жизни попрощался с математикой, помнят «Пифагорские брюки» — квадрат на гипотенузе, соответствующий двум квадратам на катетерах. Причина такой популярности пифагорейской теоремы — простота — красота — смысл. На самом деле пифагорейская теорема проста, но не очевидна. Такое сочетание двух противоречивых начал и придает ему особую привлекательность, делает его красивым. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет большое значение: она используется в геометрии буквально на каждом шагу, а тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), показывает большое количество ее конкретных реализаций. Открытие пифагорейской теоремы окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение первой книги Евклида «Начало», пишет: «Если мы прислушаемся к тем, кто любит повторять старые легенды, мы должны сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; говорят, что он принес в жертву быка в честь этого открытия. Более щедрые рассказчики, однако, превратили одного быка в Гекатомбу, и это составляет сотню. И хотя даже Цицерон отмечал, что всякое кровопролитие было чуждым уставу Пифагорского ордена, эта легенда прочно переплетается с пифагорейской теоремой, и две тысячи лет спустя она все равно вызывает бурные реакции.

Например, оптимист Михаил и Ломоносов (1711—1765) писал: «Пифагор принес в жертву сто волов за изобретение единого геометрического правила. Но если бы для современных остроумных математиков правила поведения суеверной ревности были бы найдены, то вряд ли при всем свете было бы найдено столько скота.

Но ироничный Генрих Гейне (1797-1856) видел развитие одной и той же ситуации несколько иначе: «Кто знает! Кто знает! Наверное, душа Пифагора переехала к бедному кандидату, который не смог доказать теорему Пифагора и, следовательно, провалил испытания, в то время как в его тестерах живут души тех быков, что Пифагор, радуясь открытию своей теоремы, принес в жертву бессмертным богам. Сегодня теорема Пифагора находит свое отражение в различных частных задачах и рисунках: в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета Первого (ок. 2000 г. до н.э.), в вавилонских клинописных табличках времен царя Хаммурапи (XVIII в. до н.э.), а также в древнеиндийском геометрическо-богословском трактате VII — V вв. до н.э. «Сульва сутра» («Веревочные правила»).

В старейшем трактате Китая, Чжоу-би Сюань-цзинь.Утверждается, что в 12 веке до н.экитайцы знали свойства египетского треугольника, а в 6 веке до н.э. также была известна общая форма теоремы. Несмотря на все это, название Пифагора было настолько сильно сплавлено с пифагорейской теоремой, чтпросто невозможно представить себе такое сочетание слов, которое бразрушалось. То же самое относится и к легенде об убое быков Пифагором. И вряд ли стоит препарировать красивые старые легенды историко-математическим скальпелем. Сегодня мы считаем, что Пифагор предоставил первое доказательствотеоремы, которая носит его имя. К сожалению, нет и следов этого доказательства.

Я рассмотрю некоторые классические доказательства пифагорейской теоремы, известные из старых трактатов. Это также полезно, потому что современные учебники даютиврит доказательство теоремы. В этом случае оригинальная геометрическая аура теоремы исчезает без следа, теряется нить Ариадны, которая вела древних мудрецов к истине, и этот путь почти всегда кратчайший и всегда прекрасный. Итак, теорема Пифагора.

Биография Пифагора

Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самос. Отцом Пифагора был Менсарх, резак для драгоценных камней. Имя матери Пифагора неизвестно. По многим древним свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, и вскоре он проявил свои выдающиеся способности. Среди учителей молодой пифагорской традиции имена старших Эрмодаманте и Ферекидов Сиросских (хотя нет твердой уверенности в том, что Эрмодаманте и Ферекиды были первыми учителями Пифагора). Молодой Пифагор провел целый день у ног старшего Эрмодаманта, обращая внимание на мелодии кифары и гексаметры Гомера. Пифагор поддерживал свою страсть к музыке и поэзии великого Гомера на протяжении всей своей жизни. А поскольку Пифагор был признанным мудрецом и был окружен множеством учеников, он начал день с одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем итальянской философской школы. Поэтому, когда Гермодамант представил молодого Пифагора в круг музеев, Ферекид обратился к Логотипам. Ферекид направил глаза Пифагора на природу, и в нем посоветовал увидеть своего первого и самого важного учителя. Но в любом случае беспокойное воображение юного Пифагора на маленькой Самосе скоро переполняется, и он отправляется в Милет, где встречает другого ученого — Фалеса. Фалес советует ему отправиться в Египет за знаниями, которые сделал Пифагор.

В 548 г. до н.э. Пифагор прибыл в Навкратис, колонию на Самосе, где можно было найти кров и пищу. Изучив язык и религию египтян, он отправился в Мемфис. Несмотря на рекомендательное письмо фараона, хитрые священники не спешили раскрывать свои секреты Пифагору и предлагали ему трудные испытания. Но склонный к жажде знаний, Пифагор победил их всех, хотя египетские священники не могли многому научить его по данным раскопок, поскольку египетская геометрия в то время была чисто прикладной наукой (которая удовлетворяла требованию того времени для расчета и измерения земных поверхностей). Поэтому, узнав все, что ему дали священники, он убежал от них и переехал к себе домой в Элладу. Тем не менее, так как Пифагор проехал часть пути, он решил совершить путешествие по суше, на которой он был захвачен Камбизом, царем Вавилона, который был на пути домой. Нет необходимости драматизировать жизнь Пифагора в Вавилоне, так как великий правитель Кир был терпим ко всем пленным. Вавилонская математика, несомненно, была более развита (одним из примеров является позиционная система анализа), чем египетская, и Пифагору было чему поучиться. Но в 530 г. до н.э. Кир отправился в поход против племен Средней Азии. И воспользовавшись волнениями в городе, Пифагор бежал на родину.

И на Самосе в то время правил тиран Поликрат. Конечно, Пифагор не был доволен жизнью придворного раба, и он отступил в пещеры под Самосом. После нескольких месяцев наглости поликратов, Пифагор переехал в Кротон. В Кротоне Пифагор основал нечто вроде религиозно-этического братства или тайного ордена монахов («пифагорейцев»), члены которого обязались жить так называемым пифагорейским образом жизни. Это было и религиозное объединение, и политический клуб, и научное общество. Надо сказать, что некоторые принципы, проповедуемые Пифагором, достойны подражания, и сейчас: «Квадрат, построенный на прямоугольном треугольном гипотенусе, равен сумме квадратов, построенных на его катетах». Простое доказательство теоремы дается в простейшем случае равнобедренного правого треугольника. Вероятно, с этого и началась теорема. Фактически, достаточно взглянуть на мозаику равнобедренных правых треугольников чтобы увидеть обоснованность теоремы. Например, для ABC: Квадрат, построенный на гипотенузе переменного тока, содержит 4 оригинальных треугольника и квадраты, построенные на катетерах — по два. Теорема доказана.

Древнее китайское доказательство

Математические трактаты древнего Китая дошли донас во II веке до нашей эры. Дело в том, что в 213 BC китайский император Ши Хуан Ди, в попытке ликвидировать старые традиции, имел зал 213 BC сжечь всех старых принцев и гигантов. Во II веке до н.э. в Китае была изобретена бумага и одновременно началась реконструкция старинных книг. Так в девяти книгах появилсяпредмет» — важнейший из сохранившихся математико-астрономических работ в книге «Математика» отгражданской графики, до каллиграфической теоремы Пифагора. Нетрудно найти ключ к этому доказательству. Действительно, на древнем китайском рисунке четыре одинаковых размещены непосредственно на золотистом t регона с катетерами ab и гипотенузами так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b, а внутренний — квадрат со стороной c, построенный на гипотенузах. Если квадрат со стороной с вырезом и оставшиеся 4 скрытых треугольника разместить в двух прямоугольниках, то становится ясно, что результирующая пустота с одной стороны равна c2, а с другой — a2 + b 2, т.е. доказанас 2 = a 2 + b 2. теорема Обратите внимание, что при таком доказательстве построения внутри квадрата на гипотенузе, которое мы видим на старом китайском рисунке, даже не расколото. Очевидно, у древнекитайской математики было еще одно доказательство. Как раз тогда, когда вы вырезаете гипотенузу в квадрате со стороной с двумя заштрихованными треугольниками (p и p. 2, b) и накладываете ее на два других гипотенуза, нетрудно обнаружить, что получившаяся фигура, иногда называемая «кресло невесты», состоит из двух квадратов со сторонами a и b, т.е. c2= a 2+b 2.

Воспроизведен рисунок из трактата «Чжоу-би…». Здесь рассматривается теорема Пифагора для египетского треугольника с катетерами 3, 4 и гипотенузой 5 единиц. Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а квадрат на большом катете — 16. Понятно, что оставшаяся часть содержит 9 ячеек. Это будет квадрат на маленьком катетере.

Староиндийская улика. Математики древней Индии отмечали, что для доказательства пифагорейской теоремы достаточно использовать внутреннюю часть древнего китайского рисунка. В трактате «Сиддханта лахмани» («Венец познания»), написанном на пальмовых листах великим индийским математиком XII в., Бхаскара изображена на рисунке со словом «смотри! Как видим, здесь прямоугольные треугольники располагаются снаружи через гипотенузу, а квадрат c2 переносится на «кресло невесты» и 2- b2. Следует отметить, что особые случаи пифагорейской теоремы (например, строительство квадрата, площадь которого в два раза больше площади этого квадрата) встречаются в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» (VII — V вв. до н.э.).

Доказательства Евклида

Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги «Начало». На гипотенузу и катетер правого треугольника ABC построены соответствующие квадраты и доказано, что прямоугольник B J LD равен квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL равен квадрату AC KS. Тогда сумма квадратов на катетерах равна квадрату на гипотенузе. Фактически, размытые треугольники ABD и BFC одинаковы с обеих сторон и угол между ними: F B = AB, BC == BD и FBC = d+ ABC =AB D . Но SABD=1/2 SBJLD, потому что ABD и BJLD имеют общую базу BD и общую высоту LD. Аналогично S FBC= 1\2 SABFH (BF общее основание, AB общая высота).

Так как SABD = EBK, у нас есть SBJLD = SABFH. Аналогичным образом, равенство треугольников ГСК. и ККЗП доказывает, что SJCEL = SACKG. Таким образом, SABFH+SACKG= SBJLD+ SJCEL= SBCED, включая то, что это было необходимо до SACKG. Доказательство Евклида по сравнению с древними китайцами или другими неиндийцами кажется чрезвычайно трудным. По этой причине его часто называли «ходульным» и «надуманным». Но это мнение поверхностно. Теорема Пифагора Евклида является последним звеном в цепочке предложений 1-й книги «Начало». Для того, чтобы логически построить эту цепочку таким образом, чтобы каждый шаг доказательства основывался на ранее проверенных теоремах, Евклиду нужен был именно тот путь, который он выбрал.

Давным-давно была изобретена загадка под названием «Пифагор». Нетрудно убедить себя, что в основе семи кусочков головоломки лежит равнобедренный прямой треугольник и квадраты, построенные на его катетерах, или, другими словами, фигуры, состоящие из 16 одинаковых равнобедренных прямых треугольников и при этом сложенные в стопку, чтобы образовать квадрат. Это лишь малая часть богатства, скрытого в жемчужине древней математики — теореме Пифагора. Далее я рассмотрю некоторые алгебраические доказательства теоремы.

Доказательство пифагорейской теоремы. Пусть Т будет прямоугольным треугольником с катетерами a, b и гипотенуза c. Давайте докажем, что c2=a2+b2.

Построим квадрат Q со стороной a+b. Возьмите точки A, B, C, D по сторонам квадрата Q так, чтобы разрезы AB, BC, CD, DA были отрезаны от прямоугольных треугольников T 1, T 2, T 3, T 4 квадрата Q с катетерами a и b. Назовем квадрат ABCD буквой P . Давайте покажем, что P — это квадрат со стороной с .

Все треугольники T1, T2, T3, T4 равны треугольнику T (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузам треугольника T, . сечению с. Давайте докажем, что все углы этого квадрата прямые.

Пусть будет — размер и хныканье острых углов треугольника T. Затем, как известно,+=90°. Угол на верхнем конце A квадрата P одинаково весит с углами и делает перевернутый угол равным. P выше + = 180°. А как + = 90°, который = 90°. Точно так же доказано, чточерепица P — это прямые линии, как и другие квадраты. Следовательно, четырёхугольник P — это квадрат со стороной с.

Квадрат Q со стороной a + b состоит из квадрата P со стороной a + b и четырех треугольников, равных треугольнику T. Поэтому равенство S(Q) = S(P)+4S(T) применяется к их областям.

Так как S ( Q ) = (a+b) 2 ; S ( P ) = c2 и S(T) = 1/2(ab), то при преобразовании этих выражений в S(Q)=S(P)+4S(T) мы получаем равенство.

( a+ b ) 2=c 2+4 *(1/2)ab . Так как (a+ b ) 2= a 2+ b2+2ab, равенство (a+ b)2=c2+4*(1/2)ab может быть записано следующим образом: a2+ b2+ 2ab = c 2+2 ab.

Равенство a2+b2+2ab=c2+2ab приводит к треку, который c2=a2+b2.

Еще одно алгебраическое доказательство.

Пусть ABC будет этим прямоугольным треугольником, который не находится под прямым углом к C. Давайте нарисуем высоту компакт-диска от вершины прямого угла C.

Согласно определению углового косинуса (косинус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение смежного катетера к гипотенузе) cSA=AD/AC=AC/AB. Поэтому AB*AD=AC2. Аналогично cSAB=BD/BC= BC/AB. Отсюда AB*BD=C2. Если сложить достигнутое равенство и обнаружить, что AD + DB = AB, то получится AD + DB = AB:

ACE 2+ ПРОТИВ 2= ACE (AD + DB)=AV2. Теорема доказана.

Заключение

В заключение я хотел бы вновь подчеркнуть важность этой теоремы. Его важность заключается главным образом в том, что большинство геометрических теорем можно вывести из него или с его помощью. К сожалению, здесь невозможно привести все или даже самые красивые доказательства этой теоремы, но я надеюсь, что приведенные примеры будут убедительно свидетельствовать о большом интересе, который проявляется к этой теореме сегодня и даже вчера.

Список литературы

Г.И. Стеклянная история математики в школьных классах VII — VIII, Руководство для учителей, — М: Просвещение 1982.
И.Ю.Демпан, Н.Ю.Виленкин «За страницами учебника по математике» Справочник для учащихся 5-6-х классов, — М: Просвещение 1982.
И.Г. Зенкевич «Эстетика преподавания математики», М.: Просвещение 1981.
В. Лицман, «Теорема Пифагора», Москва 1960.
А.В. Волошинов «Пифагор» М. 1993.
Л.Ф. Пичурин «За страницами учебника алгебры» М. 1990.