Швейное предприятие планирует к массовому выпуску новую модель одежды

Оглавление:

Задача 2.102.

Швейное предприятие планирует к массовому выпуску новую модель одежды. Спрос на эту модель не может быть точно определен. Однако можно предположить, что его величина характеризуется тремя возможными состояниями (I, II, III). С учетом этих состояний анализируются три возможных варианта выпуска данной модели (А,Б, В).

Каждый из этих вариантов требует своих затрат и обеспечивает в конечном счете различный эффект. Прибыль (тыс. руб.), которую получает предприятие при данном объеме выпуска модели и соответствующем состоянии спроса, определяется матрицей

Требуется найти объем выпуска модели одежды, обеспечивающий среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса.

Решение:

Прежде всего проверим, имеет ли исходная матрица седловую точку. Для этого находим минимальные элементы в ее строках (22; 21; 20) и максимальные— в столбцах (22; 23; 24). Максимальным среди минимальных элементов строк является число , а минимальным среди максимальных элементов столбцов — число . Таким образом. . Число 22 является ценой игры. Игра имеет седловую точку, соответствующую I варианту выпуска модели одежды. Объем выпуска модели, соответствующей данному варианту, обеспечивает прибыль в 22 тыс, руб. при любом состоянии спроса.

Используя геометрическую интерпретацию, найдите решение игр, определяемых следующими матрицами.

Сведение задач теории игр к задачам линейного программирования. Рассмотрим игру , определяемую матрицей

Согласно теореме 2.5, для оптимальной стратегии первого игрока

и цены игры выполняется неравенство

Предположим для определенности, что > 0. Это всегда может быть достигнуто благодаря тому, что прибавление ко всем элементам матрицы одного и того же. Постоянного числа не приводит к изменению оптимальных стратегий, а только лишь увеличивает цену игры на .

Разделив теперь обе части последнего неравенства на , получим

Положим

тогда

Используя введенное обозначение, перепишем условие

в виде

Так как первый игрок стремится получить максимальный выигрыш, то он должен обеспечить минимум величине 1/. С учетом этого, определение оптимальной стратегии первого игрока сводится к нахождению минимального значения функции

Аналогичные рассуждения показывают, что определение оптимальной стратегии второго игрока сводится к нахождению максимального значения функции

при условиях

Здесь

Таким образом, чтобы найти решение данной игры, определяемой матрицей А, нужно составить следующую пару двойственных задач и найти их решение.

Прямая задача: найти максимальное значение функции

Двойственная задача: найти минимальное значение функции

Используя решение пары двойственных задач, получаем формулы для определения стратегий и цены игры:

Итак, процесс нахождения решения игры с использованием методов линейного программирования включает следующие этапы:

Составляют пару двойственных задач линейного программирования, эквивалентных данной матричной игре.
Определяют оптимальные планы пары двойственных задач.
Используя соотношение между планами пары двойственных задач и оптимальными стратегиями и ценой игры, находят решение игры.

Задача 2.106.

Найти решение игры, определяемой матрицей

Решение:

Составим двойственную пару задач линейного программирования: прямая задача: найти максимум функции

при условиях

двойственная задача: найти минимум функции

при условиях

Находим оптимальные планы прямой и двойственной задач (табл. 2.52).

Из табл. 2.52 видно, что исходная задача имеет оптимальный план

а двойственная задача — оптимальный план

Следовательно, цена игры

а оптимальные стратегии игроков

Выше было показано, что для всякой матричной игры можно записать симметричную пару двойственных задач, Справедливо и обратное: для всякой симметричной пары двойственных задач можно записать матричную игру.

Пусть задана симметричная пара двойственных задач: прямая задача: