Расчеты на прочность и жесткость
Рассмотрим элемент, выделенный сечениями I и II из цилиндра, один конец которого закреплен неподвижно, а другой нагружен парой сил с моментом 
(рис. 2.43, а), В результате действия внешнего момента возникает деформация кручения, и образующая цилиндра 
займет положение 
(рис. 2.43, а).
Если сечение I, находящееся на расстоянии от нижнего конца цилиндра, повернулось на угол 
, то сечение II, находящееся на расстоянии 
от нижнего сечения, повернется на угол 
(рис. 6.6, б). Проведем из точки 
прямую 
параллельно 
. Тогда 
. Элемент 
до поворота сечения II относительно сечения I имел вертикальные боковые стороны. Следовательно, абсолютный сдвиг элемента
Относительный сдвиг
Обозначим 
тогда 
, где 
— угол закручивания, отнесенный к единице длины цилиндра, называемый относительным углом, закручивания.
Для цилиндров постоянного сечения, подверженных действию постоянного крутящего момента, 
. Так как в соответствии с принятыми допущениями радиусы при кручении остаются прямыми, то можно сказать, что для всякого элемента, лежащего внутри цилиндра на радиусе 
, относительный сдвиг
По закону Гука напряжение в сечении цилиндра
Из соотношения (2.80) следует, что напряжение внутри цилиндра изменяется по закону прямой линии пропорционально расстоянию от оси вращения. Минимальное напряжение, равное нулю, имеет место в центре поперечного сечения, а максимальное — на поверхности цилиндра (рис 2.43, в).
Элементарная касательная сила, перпендикулярная радиусу сечения, проведенному в центр тяжести элементарной площадки 
, действующая на эту площадку с учетом соотношения (2.80),
Элементарный момент, создаваемый силой 
относительно центра сечения,
Сумма таких элементарных моментов, взятая, по всей площади поперечного сечения цилиндра, равна крутящему моменту 
который действует в рассматриваемом сечении цилиндра и в данном конкретном случае равен внешнему моменту :
Так как
то
Но 
— полярный момент инерции сечения. Поэтому
Из соотношения (2.79) получаем величину угла закручивания, отнесенного к единице длины цилиндра:
Полный угол закручивания в радианах
или, в градусах,
Произведение модуля упругости второго рода на полярный момент инерции 
, называют жесткостью при кручении. Эта величина, характеризует способность тела из данного материала с поперечным сечением данных размеров и формы сопротивляться деформации кручения. Таким образом, полный угол закручивания цилиндра прямо пропорционален крутящему моменту и длине цилиндра и обратно пропорционален жесткости при кручении.
Найдем зависимость напряжения от крутящего момента. В соотношение (2.80) вместо 
подставим его значение из соотношения (2.82):
Отсюда (см. рис. 2.43, в) наибольшее напряжение при кручении
где 
— отношение полярного момента инерции к расстоянию от оси вращения до наиболее удаленной точки сечения; это отношение называют полярным моментом сопротивления.
Условие прочности при кручении будет выполнено в том случае, если максимальное значение напряжения, возникающего при кручении, не превышает величины допускаемого напряжения, т. е. уравнение прочности при кручении имеет вид:
Допускаемое напряжение при кручении для стали обычно принимают
где 
— допускаемое напряжение при растяжении.
Приведем соотношения для определения полярного момента сопротивления:
для круга диаметром 
, с учетом выражения (2.81),
для кольца, с учетом соотношения (2.82),
где 
— наружный диаметр кольца; — внутренний диаметр кольца.
При 
полярный момент сопротивления кольца
Определить диаметр цилиндра , подвергнутого деформации кручения, можно исходя из двух предпосылок. В тех случаях, когда определяющей является прочность цилиндра, расчет ведут по соотношению (2.87). Для сплошного цилиндра
Когда определяющей является предельная деформация (угол закручивания), расчет ведут на жесткость. Из уравнения (2.84) имеем
где 
— допустимый угол закручивания на единицу длины, который в зависимости от назначения вала принимается в пределах 0,25-1,0 град/м; .
— полярный момент инерции сплошного цилиндра.
Тогда диаметр вала сплошного сечения, на основании условия жесткости,
Пользуясь уравнениями (2.87) и (2.88), можно решить и другую задачу: определить безопасную величину крутящего момента, при котором обеспечивается необходимая прочность или жесткость.
Эта теория взята со страницы лекций по предмету «прикладная механика»:
Возможно эти страницы вам будут полезны:
| Чистый сдвиг и его особенности |
| Кручение стержня круглого поперечного сечения |
| Напряженное состояние и разрушение при кручении |
| Расчеты на прочность и жесткость |
