Динамика свободных колебаний
Колебания тела под действием сил упругости. Уравнение колебательного движения тела под действием силы упругости 
(рис. 54) может быть получено с учётом второго закона Ньютона 
и закона Гука 
, где 
— масса шарика, 
— ускорение, приобретаемое шариком под действием силы упругости, 
— коэффициент жёсткости пружины, 
— смещение тела от положения равновесия (оба уравнения записаны в проекции на горизонтальную ось 
). Приравнивая правые части этих уравнений и учитывая, что ускорение — это вторая производная от координаты (смещения), получим:
Это дифференциальное уравнение движения тела, колеблющегося под действием силы упругости: Вторая производная координаты по времени (ускорение тела) прямо пропорциональна его координате, взятой с противоположным знаком.
Колебания математического маятника. Для получения уравнения колебания математического маятника (см. рис. 55) необходимо разложить силу тяжести 
на нормальную 
(направленную вдоль нити) и тангенциальную 
(касательную к траектории движения шарика — окружности) составляющие. Нормальная составляющая силы тяжести и сила упругости нити в сумме сообщают маятнику центростремительное ускорение, не влияющее на величину скорости, а лишь меняющее её направление, а тангенциальная составляющая является той силой, которая возвращает шарик в положение равновесия и заставляет его совершать колебательные движения. Используя, как и в предыдущем случае, закон Ньютона для тангенциального ускорения 
и учитывая, что 
получим:
Знак минус появился потому, что сила и угол отклонения от положения равновесия 
имеют противоположные знаки. Для малых углов отклонения 
. В свою очередь, 
, где 
— дуга 
— длина нити. Учитывая, что 
, окончательно получим:
Вид уравнения (1.55) аналогичен уравнению (1.54). Только здесь параметрами системы являются длина нити и ускорение свободного падения, а не жёсткость пружины и масса шарика; роль координаты играет длина дуги (т. е. пройденный путь, как и в первом случае).
Свободные колебания описываются уравнениями одного вида (подчиняются одним и тем же законам) независимо от физической природы сил, вызывающих эти колебания.
Решением уравнений (1.54) и (1.55) является функция вида:
Координата тела, совершающего свободные колебания, меняется с течением времени по закону косинуса или синуса, и, следовательно, эти колебания являются гармоническими (рис. 56).
В уравнении (1.56) 
— амплитуда колебания, 
— собственная циклическая (круговая) частота колебаний.
Циклическая частота и период свободных гармонических колебаний определяются свойствами системы. Так, для колебаний тела, прикреплённого к пружине, справедливы соотношения: 
Собственная частота тем больше, чем больше жёсткость пружины или меньше масса груза, что вполне подтверждается опытом.
Для математического маятника выполняются равенства:
Эта формула была впервые получена и проверена на опыте голландским учёным Гюйгенсом (современником Ньютона).
Период колебаний возрастает с увеличением длины маятника и не зависит от его массы.
Следует особо обратить внимание на то, что гармонические колебания являются строго периодическими (т.к. подчиняются закону синуса или косинуса) и даже для математического маятника, являющегося идеализацией реального (физического) маятника, возможны только при малых углах колебания. Если углы отклонения велики, смещение груза не будет пропорционально углу отклонения (синусу угла) и ускорение не будет пропорционально смещению.
Скорость и ускорение тела, совершающего свободные колебания, также будут совершать гармонические колебания. Беря производную по времени функции (1.56), получим выражение для скорости:
где 
— амплитуда скорости.
Аналогично выражение для ускорения получим, дифференцируя (1.57):
где 
— амплитуда ускорения. Таким образом, амплитуда скорости гармонических колебаний пропорциональна частоте, а амплитуда ускорения — квадрату частоты колебания.
Эта лекция взята со страницы лекций по всем темам предмета физика:
Возможно эти страницы вам будут полезны:
| Гармонические колебания в физике |
| Свободные колебания в физике |
| Фаза колебаний в физике |
| Затухающие колебания в физике |
