Оглавление:
Дифференциальным уравнением 
-го порядка называется уравнение вида 
, связывающее независимую переменную 
, искомую функцию 
и её производные 
, 
.
Решением или интегралом дифференциального уравнения называется любая функция 
, обращающая его в тождество.
Дифференциальное уравнение первого порядка
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида 
, где — аргумент, 
— неизвестная функция, 
— производная от функции . Функция называется решением уравнения, если она обращает его в тождество, т. е. 
.
Задача Коши
Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка состоит в том, чтобы найти решение, которое при заданном значении аргумента 
принимает заданное значение 
, т. е. удовлетворяет начальному условию 
.
Геометрически задача Коши формулируется следующим образом: среди всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения выделить ту, которая проходит через заданную точку 
.
Рассмотрим несколько видов дифференциальных уравнений:
1. ДУ с разделяющимися переменными
Уравнением с разделяющимися переменными называется дифференциальное уравнение вида
или
Уравнение (1) разделим на 
и запишем в виде
Теперь найдём общий интеграл
Задача №98.
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение:
Преобразуем левую часть уравнения
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим уравнение на 
, имеем
Интегрируя, получим общий интеграл уравнения
— общее решение уравнения.
Задача №99.
Решить задачу Коши 
Решение:
Найдём общее решение уравнения с разделяющимися переменными:
— общее решение ДУ.
Решаем задачу Коши:
— решение задачи Коши.
2. Уравнение вида
называется линейным уравнением. При этом уравнение 
называется однородным.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка ищется в виде 
, где 
— некоторые неизвестные функции.
Имеем 
. Подставим эти замены в (2) и получим:
Решим теперь два уравнения:
и 
.
Для первого уравнения найдём частное решение с условием 
, для второго ищем общее решение. Тогда 
— общее решение исходного уравнения.
Задача №100.
Найти общее решение уравнения 
.
Решение:
Разделим уравнение на , получим
Это линейное неоднородное ДУ первого порядка.
Пусть , 
, тогда
Найдём частное решение уравнения
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Теперь найдём общее решение ДУ
— общее решение уравнения.
3. Уравнение вида 
, где 
называется уравнением Бернулли. При помощи подстановки 
оно приводится к линейному уравнению и его можно решать подстановкой .
Задача №101.
Найти общее решение уравнения 
.
Решение:
Полагаем 
, тогда
Выполняя эту подстановку, получаем линейное уравнение
Интегрируя его, находим
Следовательно, общее решение будет
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны:
