Оглавление:
Определённый интеграл и основные свойства
Пусть функция определена на
. Разобьём отрезок на
частей точками
. На каждом из частичных отрезков
возьмём произвольную точку
, и составим сумму
, которая называется интегральной суммой функции
на отрезке
.
Предел интегральной суммы, при условии, что число частичных отрезков неограниченно увеличивается, а длина наибольшего из них стремится к 0, называется определённым интегралом функции в пределах от
до
и обозначается

Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что он выражает площадь некоторой криволинейной трапеции на .
Физический смысл определенного интеграла состоит в том, что он выражает работу некоторой переменной силы в данном участке.
Основные свойства определённого интеграла
1)
2) где
;
3)
где или точка, лежащая вне
;
4)
5)
6) если при
, то
;
7) если — наименьшее, а
— наибольшее значения функции
на отрезке
, то
;
8) если функция непрерывна на отрезке
,
, то на этом отрезке найдётся такая точка
, что

Формула Ньютона-Лейбница
Если функция непрерывна на отрезке
и для неё известен неопределённый интеграл:
, где
— первообразная функции
, то определённый интеграл может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

т. е. определённый интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования. При вычислениях пишут следующим образом:

Для вычисления определенного интеграла на необходимо найти некоторую первообразную по отношению к подынтегральной функции и вычислить разность значений этой первообразной в точках
и
. Эта разность будет равна определенному интегралу на
.
Задача №92.
Вычислить .
Решение:

Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны: