Оглавление:
Интегрирование выражений, рационально зависящих от тригонометрических функций
1. Рассмотрим интегралы вида 
. Подстановка
называется универсальной. Она сводит данный интеграл к интегралу рациональной дроби нового аргумента 
. При такой подстановке
Задача №84.
Вычислить 
.
Решение:
Применим универсальную подстановку . Тогда 
.
Иногда универсальная подстановка 
приводит к сложным выкладкам. Поэтому можно воспользоваться другими подстановками:
1) если функция 
нечётная относительно синуса, то применима подстановка 
;
2) если функция нечётная относительно косинуса, то применима подстановка 
;
3) если функция чётная относительно синуса и косинуса, то применима подстановка 
.
Задача №85.
Вычислить 
.
Решение:
Подынтегральное выражение нечётно относительно синуса, поэтому воспользуемся подстановкой , 
, 
.
2. Рассмотрим интегралы вида:
Для того, чтобы вычислить интегралы данного вида, воспользуемся формулами:
При этом каждое произведение превращается в сумму, интеграл от которой легко вычислить.
Задача №86.
.
3. Рассмотрим интегралы вида: 
.
Следует различать два случая: а) хотя бы один из показателей 
и 
нечетный; б) оба показателя четные.
Пусть 
, тогда:
С помощью замены решение сводится к интегрированию
многочлена относительно .
Если 
, то поступаем аналогично.
Если оба показателя и — четные числа, то используют формулы
которые понижают показатели степени синуса и косинуса, после чего получится интеграл того же типа что и выше.
Задача №87.
Найти 
.
Решение:
Имеем
Задача №88.
Вычислить 
.
Преобразуем подынтегральную функцию:
Тогда получим:
. Отсюда 
.
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны:
