Оглавление:
Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема Ферма
Если функция 
дифференцируема в точке 
и имеет в этой точке экстремум, то ее производная при 
обращается в нуль, т. е. 
.
Доказательство. Пусть для определенности — точка максимума. Тогда для достаточно малых 
имеет место неравенство: 
или 
. Разделим обе части неравенства на .
при 
,
при 
.
По условию 
существует. Поэтому при 
, при 
. Значит, .
Теорема Ролля
Если функция 
непрерывна на 
и дифференцируема в интервале 
, а на концах отрезка имеет равные значения 
, то в интервале найдется хотя бы одна точка 
, в которой производная равна нулю.
Доказательство. Поскольку функция непрерывна на отрезке , то она принимает на нем свое наибольшее и наименьшее значения: 
и 
. Если 
, то функция постоянна на данном отрезке и в любой точке отрезка. Значит 
. Ясно, что либо , либо отлично от . Пусть 
и 
— значение, при котором 
. Так как 
, то 
и в этой точке дифференцируемая функция имеет максимум. По теореме Ферма . Положив 
, получим: 
.
Теорема Лагранжа
Если функция непрерывна на и дифференцируема в интервале , то в интервале найдется хотя бы одна точка , в которой
Доказательство. Запишем уравнение хорды 
, проходящей через точки 
:
Отсюда
Рассмотрим вспомогательную функцию:
Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Она непрерывна на и имеет в производную
Кроме того, 
. По теореме Ролля в интервале найдется точка , в которой 
.
Теорема Коши
Если и 
— две функции, непрерывные на и дифференцируемые на , причем 
для всех 
, то между 
и 
найдется точка с такая, что
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны:
